大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
并在有无穷多解时写出通解。
一、填空题 （共5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 2ab; 2.
n?1??1?? 3.
?1A??10??; 4 . ???2,c?(?2,2,?1)T; 5. 无关
?01??20?1?二、选择题 （共 5 小题，每题 3 分，共计15 分
1. (B); 2. (D) ; 3. (D); 4．(C) ; 5. (A). 三、（10分）
241 解： 31?11c4?c22452120332062?????21?1521032 60 2r4?r2214?????31?20221132400 r4?r121420?????31?13200?0 0200? 四 （10分）
解：A??1?0，所以A可逆，有 X?BA?1， ??53?3? A?1???2?11?? ???210??X?BA?1??120???53?3?1?1???013???11????2????1?21? ??210????4?五. （10分）
?1345??1345??解：(??14?12??1,?2,3,?4)???01?5?3?????1?1?23?????222???2231?0???081111???1345??134?5?134?? ??01?5?3?????01?5?3???01?5????0111??????08111??1?006?4??3?1 ?300? ?003?00?0?1???3分
??3分
?4分
??4分
?3分 ??3分 ??2分 ??6分
共3页第6页
? ? 2大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
向量组的秩为4， ?1,?2,?3,?4为最大无关组。 ??2分 六、 证明：恒等变形A2?A?2E，A(A?E)?2E， ??3分 A[12(A?E)?]，所以A可逆，且AE?1?12(A?E)。 ??3分
七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
?2??a,a,a1 ?b1,b2,b???312?3?0?0311??0,?4??记B?AK， ??3分
设BX?0，以B?AK代入得
A(Kx)?0，因为矩阵A的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知Kx?0??，
3分
又因K?25?0，知方程 Kx?0只有零解x?0。
所以矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。 ?? 4分
?2???a1,a2,a3?1??0?0311??0,?4??证法二： 把已知条件合写成 ?b1,b2,b3?记B?AK， ??3
分
因 K?25?0，知 K可逆， 根据上章矩阵性质4知R?A??R?B? ??3分
因矩阵A的列向量组线性无关，根据定理4 知R?A??3，从而 R?B??3， 再由定理4知矩阵B的三个列向量组b1,b2,b3线性无关。 ?? 4分 八 （12分）
?1??13??0002???(2??)(1??)
2解: A的特征多项式为A??E??41所以A的特征值为?1?2,?2??3?1. ?? 4分
??3?当?1?2时,解方程(A?2E)x?0.由A?2E??4??1?1100??1??0~0????00??0100??0 ??0?共3页第7页
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?0???得基础解系 p1?0,
???1???所以kp1(k?0)是对应于?1?2的全部特征向量. ?? 4分
??2?当?2??3?1.时,解方程(A?1?E)x?0.由A?E??4??1???1???得基础解系 p2??2,
???1???1200??0?1??~?1?0??0?0101??2, ?0??所以kp2(k?0)是对应于?2??3?1的全部特征向量。 ?? 4分
九．（12分）
??1? 解：(Ab)??1??5???152?41???1??r2?r12?r???0?5r??31??0?1??2???1?5??52??2?61??3 ??6????1?3?5r2??0 ?r???0????10??25??41??3 ?? 4分 ?9??（1） 当???45时，R(A)?2,R(Ab）=3，方程组无解；
（2）当???,且??1时， R(A)?R(Ab）=3=n，方程组有唯一解；
54（3）当??1时，R(A)?R(Ab）=2?n=3，方程组有无穷多个解。 ?? 4分
??x1?x2?2x3?1?3x3?3原方程组同解于??x1?通解?x2?x?3，???x1?x2?1x3?1，
??1??1??????c?R）?c1?0，。 ?? 4分 ?????（
??0??1??????第一部分 选择题 (共28分)
一、1.设行列式 A. m+n
a11a21a12a22=m，
a13a23a11a21=n，则行列式
a11a21a12?a13a22?a23等于（ ）
B. -(m+n)
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?1?A=?0??00200??0??3? C. n-m D. m-n2.设矩阵
，则A-1等于（ ）
A.
?1??3?0??0??13000120?0??0??1??? B.
??1??0???0?0120??0?0??1??3?
C.
???????010?0??0?1??2? D.
????????12000130?0??0??1???3.设矩阵
?3?A=?1???2?1012???1??4?，A*是A的
伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 C. 2
有（ ） A. A =0
T
B. 6
D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必
B. B?C时A=0
C. A?0时B=C A. 1 C. 3
D. |A|?0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性B. 2
D. 46.设两个向量组α1，α2，?，αs和β1，β2，?，
无关，则秩（A）等于（ ）
βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+?λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+?+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+?+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs和不全为0的数μ1，μ2，?，μs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+?+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0
12D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程
12组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 C.A=0
B.
η1+
η2是Ax=b的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
B.秩(A)=n-1
D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A) 述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ 3是 A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2， 0是矩阵 λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 C. k=3 B. k<3 A的特征方程的3重根，A的属于λ 0 D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） 共3页第9页 大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题 A.|A|2必为1 C.A-1=AT A.A与B相似 B.|A|必为1 D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 T 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CAC.则（ ） B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??2?33??4?02?3 0???3??5? B.??3?24??6?120 1??0??2? ?1?C.?0??0 ?1?D.?1??1 第二部分 非选择题（共72分） 1152516?36× 15. 39 .16.设A=??1?1?111???1?，B=??13????1?24?2.则A+2B= . 17.设A=(aij)3 3 ，|A|=2，Aij表示|A|中元素 2 2 aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 2 (a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 23.设矩阵 ?0?A=?1???210?3106???3??8??2???=??1????2?，已知α是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） ?1?A=?3???12420??0??1?3110?5?13132?4?1?325.设，B=??23?1????240?.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式 ?521.27.设矩 ?4?阵A=?1???12123??0??3?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组α ??2????1?=1?0????3?，α ?1?????3?=2?2????4?，α ?3????0?=3?2?????1?， α ?0?????1?=4?4????9?.试判断α 4 是否为α 1，α2，α3 的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵 共3页第10页