大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
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一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符
合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m
a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，
=n，则行列式
等于（ ）
B. -(m+n) D. m-n
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?1??3?0??0??0120?0??0??1???2.设矩阵
?1?A=?0??00200??0??3?，则A等于（ ） A.
-1
B.
??1??0???0?0120??0?0??1??3? C.
???????1300010?0??0?1??2? D.
????????12000130?0??0??1???3.设矩阵
?3?A=?1???2?1012???1??4?，A是A的伴随矩阵，则A
* *
中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 C. 2
B. 6 D. –2
B. B?C时A=0
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 C. A?0时B=C A. 1 C. 3
D. |A|?0时B=C B. 2 D. 4
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
6.设两个向量组α1，α2，?，αs和β1，β2，?，βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+?λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+?+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+?+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs和不全为0的数μ1，μ2，?，μs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0
和μ1β1+μ2β2+?+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0
12B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0
12 C.至少有一个r阶子式不等于0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 A.秩(A) B. η1+ η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特 征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ A. k≤3 B. k<3 共3页第33页 0的线性无关的特征向量的个数为 k，则必有（ ） 大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题 C. k=3 2 D. k>3 B.|A|必为1 D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 ?2?33??4?12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|必为1 C.A-1=AT 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??3??24??6??1?C.?0??002?30???3??5??1?D.?1??11201??0??2? B. 第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解 1152516?36答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. ?1?1?111???1??13????1?24?239 .16.设 A=?17.设 A=(aij)3 × ，B=?.则A+2B= . aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 2 3 ，|A|=2，Aij表示|A|中元素 2 2 (a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 23.设矩阵 ?0?A=?1???210?3106???3??8??2???=??1????2?，已知α是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） ?1?A=?3???12420??0??1?3110?5?13132?4?1?325.设，B=??23?1????240?.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式 ?521.27.设矩 阵 ?4?A=?1???12123??0??3?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组α ??2????1?=1?0????3?，α ?1?????3?=2?2????4?，α ?3????0?=3?2?????1?，α ?0?????1?=4?4????9?.试判断α 4 是否为α1，α2，α 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵 共3页第34页 大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题 ?1??2A=??2??3?0???2??2?24?13?2?34?12032??4???3?06232???6?3??4?.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵 A= 的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. 231.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=x1并写出所用的?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3， 22满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ 2均是 2是其导出组 Ax=0的一个基础解系.试证明 Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 3?32 7??7?24.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A ?3??112.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每 空2分，共20分）15. 616. ?17. 418. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常 22数20. n-r21. –522. –223. 124. ?1??3???1242z1?z2?z3?z4三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 124200??2125.解（1）AB=|4A|=64 3?521110?5?13132?4?1?3?T 0??2??0??3??1???1?2??4??0?= ?8??18??36??10??10?.（2）|4A|=4|A|=64|A|，而|A|=-2 ） 512?510?0?6?52?53 3?1.所以 解 · 5?110?5110?5?1313（ 1?100511?51=-12826. = ?11?5?10= ?6?5?30?10?40.27.解 AB=A+2B 即（A-2E） ?4?56B=A， 212而 3??0??3?（ ?3?=?2???2A-2E ?8?912） ?6???6?. ?9?-1 = ?2??1???12?123??0??1??1?1???1???1?4?56?3???3?.?4?所以 ?1?B=(A-2E)-1A=?1???1?3??4???3??1??4???128. ??2??1?0??31?324302?10??0???1??1????04???9??0?5?3113301?1?2??1???1??0????02???12??00100解 318?145??1??2??0????08????14??0010031105??1??2??0????01???0??0010000102??1?,1??0?一 所 共3页第35页