大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
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全国2010年7月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184
试卷说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵（行列对换）；A表示A的伴随矩阵； A=
T
-1
*
A*A（重要）
求A-1 和A*时，可用这个公式，A*太复杂了自己看看
?1?r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。E?0???00100??0 2E??1???200???020,?????002?每一项都乘2
一、单项选择题 [ ]表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；| |表示行列式，计算后为一个数值，行列式相乘为数值运算
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( C ) A.-12 C.6
3 0 ?2 0 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 3B.-6 αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列 D.122.
=( A )=3*-2*10*3=-180
计
算
行
列
式
A.-180 C.120
B.-120
D.1803.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( C )=2
3
|
A |=8*1/2=4
A.
12 B.2
D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( B )
C.4
n+1个n维向量线性相关 A.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示
B.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( C ) A.2 C.4
B.3 n- r(A)=解向量的个数=2,n=6
D.56.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( C ) A
与B合同? r(A)=r(B) ?PTAP=B, P可逆 A.A与B相似
B.| A |=| B |C.A与B等价
D.A与B合同7.设A为3阶方
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阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( D )，| A |=所有特征值的积=0 A.0 |=4*3*2 C.3
A.A与B等价 C.| A |=| B |
D.248.若A、B相似，则下列说法错误的是( B ) ．．B.A与B合同
D.A与B有相同特征值A、B相似?A、B特征值相同?| B.2 A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E
A |=| B |? r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价） 9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( D ) A.-2 C.2
( B )，所有特征值都大于0，正定；
A.A正定 B.A半正定 所有特征值都小于0，负定；
C.A负定 D.A半负定 所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、
?3 ?2????2 1 ?1?不填均无分。11.设A=?0 1?,B=??，则AB=（0 ?1 0???2 4??? ??T?0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=4
B.0
D.410.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则
A的每一行与B的每一列对应相乘
5?1?2?3??0 ??2???a11?a?21?a?31a1aaa?13?a23下标依次为?a?33??3*2?2*00*2?1*0相加）=???2*2?4*0?3*1?2*?10*1?1*02*1?4*?13*?1??2*0??6??0*?1?1*0=0???2*?1?4*0???422232行列，如a21表示第二行第一列的元素。 A为三行两列的矩阵即3×2的矩阵，B为2×3的矩
阵，则AB为3×3的矩阵，对应相乘放在对应位置12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A |=
1A-1
33| A-1 |=27*
x1?x2?x3?1=913.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________. 扩充为
再看0?x2?0?0，0?0?x3?0答案14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_____跟高中单位向量相同____________. 15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________. 16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，
12，1，则| 5A |=____同12题__________.
-1
17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.
若矩阵A的行列式| A |?0，则A可逆，即A A-1=E，E为单位矩阵。Ax=0只有零解?| A |?0，故A
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? 2 ?1 0???可逆若A可逆，则r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，则r(ABC)= r(B)18.实对称矩阵A=??1 0 1 ?所对
? 0 1 1????x12?应的二次型f (x1, x2, x3)=2x12?x32?2x1x2?2x2x3 实对称矩阵A 对应于?x1x2?xx?13?1???数19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=?2?，α
?3????1???_______________.20.设α=?2?，则A=αα
?3???T
x1x2x22x2x3x1x3??x2x3?各项的系2x3????1???= 22??且r(A)=2，则Ax=b的通解是? 3???的非零特征值是_______________.三、计算题（本大题共6
2 0 0 0 1小题，每小题9分，共54分）21.计算5阶行列式D=
0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.设矩阵X满足方程
?x1?x2?3x3?x4?1?2 0 0??1 0 0??1 ?4 3?????????0 ?1 0?X?0 0 1?=?2 0 ?1?求X.23.求非齐次线性方程组?3x1?x2?3x3?4x4?4?0 0 2??0 1 0??1 ?2 0??x?5x?9x?8x?0234???????1的.
24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
? 2 ?1 2???T
25.已知A=? 5 a 3?的一个特征向量ξ=（1,1，-1），求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应这
??1 b ?2?????2 1 1 ?2???个特征值的全部特征向量.26.设A=? 1 ?2 1 a?，试确定a使r(A)=2.四、证明题（本大题共1
? 1 1 ?2 2???小题，6分）27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.
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