育英教育—相信就会有奇迹
直线与圆锥曲线 Ⅰ复习提问
一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax?By?C?0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立
?Ax?By?C?0消去y后得ax2?bx?c?0 ??F(x,y)?0（1）当a?0时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。
（2）当a?0时，??0，直线l与曲线C有两个不同的交点；??0，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；??0，直线l与曲线C相离。 二、圆锥曲线的弦长公式
??AB?1?k2(x?x)2?4xx1212??12?AB?1?y?y?12??4y1y2?2k相交弦AB的弦长?
??122?1?2y1?y2?AB?1?kx1?x2?1?kak??三、中点弦所在直线的斜率
x2y2b2x0（1）若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)时，以P（x0,y0）为中点的弦所在直线斜率k??2(y0?0)，
abay0b2y2x2a2a2x0即k?kop??2；若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)时，相应结论为k??2(y0?0)，即k?kop??2；
aabbby0x2y2b2x0（2）P（x0,y0）是双曲线2?2?1内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率k?2(y0?0)，即
abay0b2y2x2a2a2x0k?kop?2； 若双曲线方程为2?2?1时，相应结论为k?2(y0?0)，即k?kop?2；
aabbby0（3））P（x0,y0）是抛物线y2?2px内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率k?x0。 pp(y0?0)； y0 若方程为x2?2py时，相应结论为k?
1
育英教育—相信就会有奇迹
Ⅱ 题型与方法
一、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断??0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。
55x222?y2?1 例1.已知两点M(1,)，N(?4,?)，给出下列曲线方程：①4x?2y?1?0②x+y=3③
442x2?y2?1在曲线上存在点P，满足PM?PN的所有曲线方程是 （填序号）④。 2
练1:对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y02?4x0的点M（x0,y0）在抛物线的内部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是 。
练2：设抛物线y2?8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有共点点，则直线l的斜率的取值范围是
例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，过y轴正方向上一点C（0，c）（c>0）任作一条直线，与抛物线y?x2 相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q两点。
????????（1）若OA?OB?2，求c的值；
（2）若p为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线。
2
育英教育—相信就会有奇迹
x2y2练1：（12安徽理）如图所示，F1(?c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点，过F1作直线
aba2x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过F2作直线PF2的垂线交直线x?于点Q，求证：直线PQ与椭圆C只
c有一个公共点。
练2：（14湖北理）在平面直角坐标系xoy中，点M到点F（1,0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C，（1）求点M的轨迹方程；（2）设斜率为k的直线l过定点P（-2，1）分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。
二、中点弦问题
?????1????????11x22?y?1交于A，B 两点，且OM?(OA?OB)（O为坐标原点）例1：已知过点M（，）的直线l与椭圆，
2222求直线l的方程。
3
育英教育—相信就会有奇迹
1x2y2练1：（14江西理）过点M（1,1）作斜率为?的直线与椭圆C：2?2?1(a?b?0)相交于A，B两点，若M
2ab是线段AB中点，则椭圆C的离心率等于 。
x2?y2?1。练2：已知椭圆方程（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P（2,1）的直线l与椭圆相2交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程。
x2y2??1，过坐标原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中例2：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆42点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，求证：对
任意k>0,都有PA⊥PB。
y2练1：已知曲线C：x?2?1(m?0,m?1)，过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，
m2且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意带你k>0,都有PQ⊥PH？ 若存在，求m的值，不存在，说明理由。
4
育英教育—相信就会有奇迹
x2y2??1，试确定m的范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于这条直例3已知椭圆C：43线对称。
练1：如图所示，已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e?1，（1）求椭圆2E的方程；（2）求?F（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若1AF2的角平分线所在直线l的方程；存在，请找出，不存在，说明理由。
x22练2：已知A，B，C是椭圆W：?y?1上的三点，O是坐标原点。（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC
4为菱形时，求此菱形面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，说明理由。
5