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?1??, 0?????,??R????, ??0,
?0, ????.???2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1)un?un?1,n?1,2,?(?1)n?1?n?1un满足：
; (2)limun?0.
n??则
?(?1)n?1?n?1un收敛,且其和满足0??(?1)n?1un?u1,余项rn?un?1.
n?1?3．p级数：
1当p?1时收敛；当p?1时发散. ?pnn?1?(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
?cosxdx??sinx?cosxdxdx?C? y?e?elnxe???????e?sinx[xlnx?x?C]. ?e?sinx?lnxdx?C???方法2: 用函数e?P(x)dx?e?cosxdx?esinx同乘方程两端,构造成全微分方程.
方程两端同乘esinx,得esinxy??yesinxcosx?(yesinx)??(yesinx)??lnx,再积分一次得
yesinx?C??lnxdx?C?xlnx?x.
最后,再用e?sinx同乘上式两端即得通解y?e?sinx[xlnx?x?C].
【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为
?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. Q(x)e y?e??????
四、(本题满分9分)
【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为
2??15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2?(x1?x2)
?15?13x1?31x2?8x1x2?2x1?10x2.
22由多元函数极值点的必要条件,有
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?????x??4x1?8x2?13?0,?1?x1?0.75,x2?1.25. ??????8x1?20x2?31?0,???x2因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万
元可获最大利润.
(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)
2??15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2,
在x1?x2?1.5时的条件最大值.拉格朗日函数为
2L(x1,x2,?)?15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2??(x1?x2?1.5),
??L??x??4x1?8x2?13???0,?1??L由 ???8x1?20x2?31???0,
?x?2??L??x1?x2?1.5?0????x1?0,x2?1.5.
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
【相关知识点】拉格朗日乘数法:
要找函数z?f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
L(x,y)?f(x,y)???(x,y),
其中?为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
?fx(x,y)???x(x,y)?0,??fy(x,y)???y(x,y)?0, ???(x,y)?0.由这方程组解出x,y及?,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点.
五、(本题满分6分)
【解析】方法1:当a?0时,f(a?b)?f(b)?f(a)?f(b),即不等式成立； 若a?0,因为
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f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0) ?[f(a?b)?f(b)]?[f(a)?f(0)]?f?(?2)a?f?(?1)a?a[f?(?2)?f?(?1)],其中0??1?a?b??2?a?b.又f?(x)单调减少,故f?(?2)?f?(?1).从而有
f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0)?0,即f(a?b)?f(a)?f(b).
方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令F(x)?f(x)?f(a)?f(a?x),x?[0,b],由于f(0)?0,所以F(0)?0,又因为
F?(x)?f?(x)?f?(a?x),且a?0,f?(x)在(0,b)单调减少,所以F?(x)?0,于是F(x)在[0,b]上单调递增,故F(b)?F(0)?0,即
f(a?b)?f(a)?f(b),其中0?a?b?a?b?c.
【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间?a,b?内可导,那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使等式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立.
六、(本题满分8分)
【解析】本题中,方程组有解?r(A)?r(A).(相关定理见第一题(4))
对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以??3?、??5?分别加到第二、四行上,有
?1?3??0??512141123111?3263?1a??11111?0?1?2?2?60????b??01226??2??0?1?2?2?6a??3a??, b??2?5a?第二行乘以1、??1?分别加到第三、四行上,第二行再自乘??1?,有
?11111?1226?????a?3a??. b?3a??2?2a?(1) 当b?3a?0且2?2a?0,即a?1,b?3时方程组有解. (2) 当a?1,b?3时,方程组的同解方程组是
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?x1?x2?x3?x4?x5?1, ?x?2x?2x?6x?3,345?2由n?r(A)?5?2?3,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为
?1?(1,?2,1,0,0)T,?2?(1,?2,0,1,0)T,?3?(5,?6,0,0,1)T.
(3) 令x3?x4?x5?0,得方程组的特解为??(?2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是
??k1?1?k2?2?k3?3,其中k1,k2,k3为任意常数.
【相关知识点】若?1、?2是对应齐次线性方程组Ax?0的基础解系,则Ax?b的通解形式为k1?1?k2?2??,其中?1,?2是Ax?0的基础解系,?是Ax?b的一个特解.
七、(本题满分5分)
【解析】若A、B是n阶矩阵,且AB?E,则必有BA?E.于是按可逆的定义知A?B.
如果对特征值熟悉,由A?0可知矩阵A的特征值全是0,从而E?A的特征值全是1,也就能证明E?A可逆.
由于A?0,故
kk?1?E?A?(E?A?A2?所以E?A可逆,且?E?A?
八、(本题满分6分)
?1?Ak?1)?Ek?Ak?E.
?Ak?1.
?E?A?A2?【解析】(反证法)若X1?X2是A的特征向量,它所对应的特征值为?,则由定义有：
A(X1?X2)??(X1?X2).
由已知又有 A(X1?X2)?AX1?AX2??1X1??2X2. 两式相减得 (???1)X1?(???2)X2?0.
由?1??2,知???1,???2不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,X1?X2不是A的特征向量.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征
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向量.
九、(本题满分4分)
3【解析】样本空间含样本点总数为C10；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 3有利于事件A1的样本点数为C8；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案. 33有利于事件A2的样本点数为2C9；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字?C8除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A1被加了两次,所
3以应该减去C8.
由古典型概率公式,
333C82C9?C8714. P(A1)?3?;P(A2)??3C1015C1015【相关知识点】古典型概率公式：P(Ai)?
十、(本题满分5分)
有利于事件Ai的样本点数.
样本空间的总数【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且limex????ax?0,(a为常数)有
X和Y的边缘分布函数分别为
?1?e?0.5x,若x?0, FX(x)?F(x,??)?limF(x,y)??y???若x?0;?0,?1?e?0.5y,若y?0, FY(y)?F(??,y)?limF(x,y)??x???若y?0.?0,由于对任意实数x,y都满足F(x,y)?FX(x)FY(x).因此X和Y相互独立. (2) 因为X和Y相互独立,所以有
??P?X?0.1,Y?0.1??P?X?0.1??P?Y?0.1?
?[1?FX(0.1)][1?FY(0.1)]?e?0.05?e?0.05?e?0.1.
十一、(本题满分7分)
【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过?(x)表计算.但是正态分布的参数?与?未知时,则应先根据题设条件求出
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