Born to win
?与?2的值,再去计算有关事件的概率.
设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(?,?2),且??72,但?未知.所以可标准2X?72化得
?查表可得
~N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有
P?X?96??1?P?X?96??1????96?72??24??????1????????0.023,
???24??????1?0.023?0.977. 24??2,??12,即X~N(72,122),
P?60?X?84??P??X?72?12?1??2?(1)?1?0.682.
??
Born to win
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n?3n?n?n. lim(n??n?3n?n?n(n?3n?n?n)?(n?3n?n?n))?lim
n??1n?3n?n?n?limn?3n?n?nn?3n?n?n, n??再分子分母同时除以n,有
原式?limn??41?31?1?nn.
因为limn??4a?2. ?0,其中a为常数,所以原式?1?1n(2)【答案】b?a
【解析】由于F(x)在x?0处连续,故A?F(0)?limF(x).
x?00limF(x)为“”型的极限未定式,又f(x)在点0处导数存在,所以 x?00f(x)?asinxf?(x)?acosxA?lim?lim?b?a.
x?0x?0x1【相关知识点】函数y?f(x)在点x0连续：设函数y?f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limf(x)?f(x0),则称函数f(x)在点x0连续. x?x0(3)【答案】41 22y 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x?x?2, 解得x??1和x?2,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 S???x?2?x?dx
2?1221?1?1??x2?2x?x3??4.
3??12?2(4)【答案】a1?a2?a3?a4?0
?1O 2 x Born to win
【解析】由于方程组有解?r(A)?r(A),对A作初等行变换, 第一行乘以??1?加到第四行上,有
?1?0??0??1100?a1??1?0110 a2????011?a3??0??001 a4??0?a1? 110a2??, 011?a3???101a1?a4? 100第二行加到第四行上,再第三行乘以??1?加到第四行上,有
?1?0???0??01?a1???1100???110aa21102?. ???????a3?a301111???011a1?a2?a4??0a1?a2?a3?a4?00?a1为使r(A)?r(A),常数a1,a2,a3,a4应满足条件:a1?a2?a3?a4?0.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A??Ab?的秩,即是r(A)?r(A)(或者说,b可由A的列向量?1,?2,亦等同于?1,?2,,?n线表出,
,?n与?1,?2,,?n,b是等价向量组).
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b,则 （4） 有唯一解 ? r(A)?r(A)?n. （5） 有无穷多解 ? r(A)?r(A)?n.
（6） 无解 ? r(A)?1?r(A).?b不能由A的列向量?1,?2,(5)【答案】
,?n线表出.
2 380的二项分81【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次独立的射击, 设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数n?4,p?4布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为(1?p),它是至少命中一次的对立事件.依题意
(1?p)4?1?8012?1?p??p?. 8133本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表
Born to win
示一次射击的命中率,则X?B(4,p),依题意
P?X?0??1??P?X?k??k?141, 81即(1?p)?412?p?. 813【相关知识点】二项分布的概率公式：
kk若Y?B(n,p),则P?Y?k??Cnp(1?p)n?k,k?0,1,,n.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)
【解析】由于limx?esinx?x??2?tanx???,所以, ?e,而lim?x?22limx?tanx?esinx???,故f(x)无界.
?x?2或考察f(x)在xn?2n???4(n?1,2,)的函数值,有limf(xn)?limxnen??n??22???,可见
f(x)是无界函数.应选(B).
以下证明其他结论均不正确.
??????sin4????sin??4?由f???e,知(A)不正确； ?f????e?4?4?4?4????由f??????0,f4?????????0,而f?0??0,知(D)不正确. ?4?证明(C)不正确可用反证法. 设g?x??tanx?esinx,于是g?x?的定义域为D??x|x?k??????,k?0?,1?,2,?,2?且g?x?的全部零点为xn?n?,n?0,?1,?2,有
.若f?x??xg?x?以T?T?0?为周期,则
?x?T?g?x?T??xg?x?,?x?D.
令x?0,有Tg?T??0,即g?T??0.从而T?k?,其中k为某一正数.于是2k?也是
xg?x?的周期.代入即得,对?x?D有
Born to win
?x?2k??g?x?2k????x?2k??g?x??xg?x?.
这表明2k?g?x??0在x?D上成立,于是g?x??0在x?D上成立,导致了矛盾. 故
f?x??xg?x?不可能是周期函数.
【相关知识点】极限的四则运算法则:
若limf(x)?A,limg(x)?B,则有 limf(x)?g(x)?AB.
x?x0x?x0x?x0(2)【答案】(D)
【解析】通过变量代换t?x?1或按定义由关系式f(1?x)?af(x)将f(x)在x?1的可导性与f(x)在x?0的可导性联系起来.
令t?x?1,则f(t)?af(t?1).由复合函数可导性及求导法则,知f(t)在t?1可导,且
f?(t)t?1?af?(t?1)(t?1)?t?1?af(0)?ab,
因此,应选(D).
【相关知识点】复合函数求导法则:如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(3)【答案】(C)
【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.
(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组?1,?2,,?s线性无关,可以
,?s推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组?1,?2,线性无关.
例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)?(0,1)?(1,1)?(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.
根据“?1,?2,,?s线性相关的充分必要条件是存在某?i(i?1,2,,s)可以由
?1,?i?1,?i?1,,?s线性表出.”或由“?1,?2,,?s线性无关的充分必要条件是任意一个?i(i?1,2,,s)均不能由?1,?i?1,?i?1,,?s线性表出.”故选(C).
(4)【答案】A
【解析】由于B?A,所以A?B?A,于是有P?A?B??P?A?.故本题选A.