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?x1?x2?x3?x4?x5?1, ?x?2x?2x?6x?3,345?2由n?r(A)?5?2?3,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为
?1?(1,?2,1,0,0)T,?2?(1,?2,0,1,0)T,?3?(5,?6,0,0,1)T.
(3) 令x3?x4?x5?0,得方程组的特解为??(?2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是
??k1?1?k2?2?k3?3,其中k1,k2,k3为任意常数.
【相关知识点】若?1、?2是对应齐次线性方程组Ax?0的基础解系,则Ax?b的通解形式为k1?1?k2?2??,其中?1,?2是Ax?0的基础解系,?是Ax?b的一个特解.
七、(本题满分5分)
【解析】若A、B是n阶矩阵,且AB?E,则必有BA?E.于是按可逆的定义知A?B.
如果对特征值熟悉,由A?0可知矩阵A的特征值全是0,从而E?A的特征值全是1,也就能证明E?A可逆.
由于A?0,故
kk?1?E?A?(E?A?A2?所以E?A可逆,且?E?A?
八、(本题满分6分)
?1?Ak?1)?Ek?Ak?E.
?Ak?1.
?E?A?A2?【解析】(反证法)若X1?X2是A的特征向量,它所对应的特征值为?,则由定义有：
A(X1?X2)??(X1?X2).
由已知又有 A(X1?X2)?AX1?AX2??1X1??2X2. 两式相减得 (???1)X1?(???2)X2?0.
由?1??2,知???1,???2不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,X1?X2不是A的特征向量.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征
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向量.
九、(本题满分4分)
3【解析】样本空间含样本点总数为C10；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 3有利于事件A1的样本点数为C8；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案. 33有利于事件A2的样本点数为2C9；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字?C8除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A1被加了两次,所
3以应该减去C8.
由古典型概率公式,
333C82C9?C8714. P(A1)?3?;P(A2)??3C1015C1015【相关知识点】古典型概率公式：P(Ai)?
十、(本题满分5分)
有利于事件Ai的样本点数.
样本空间的总数【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且limex????ax?0,(a为常数)有
X和Y的边缘分布函数分别为
?1?e?0.5x,若x?0, FX(x)?F(x,??)?limF(x,y)??y???若x?0;?0,?1?e?0.5y,若y?0, FY(y)?F(??,y)?limF(x,y)??x???若y?0.?0,由于对任意实数x,y都满足F(x,y)?FX(x)FY(x).因此X和Y相互独立. (2) 因为X和Y相互独立,所以有
??P?X?0.1,Y?0.1??P?X?0.1??P?Y?0.1?
?[1?FX(0.1)][1?FY(0.1)]?e?0.05?e?0.05?e?0.1.
十一、(本题满分7分)
【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过?(x)表计算.但是正态分布的参数?与?未知时,则应先根据题设条件求出
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?与?2的值,再去计算有关事件的概率.
设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(?,?2),且??72,但?未知.所以可标准2X?72化得
?查表可得
~N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有
P?X?96??1?P?X?96??1????96?72??24??????1????????0.023,
???24??????1?0.023?0.977. 24??2,??12,即X~N(72,122),
P?60?X?84??P??X?72?12?1??2?(1)?1?0.682.
??