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对于B选项,因为B?A,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以P?AB??P?B?,而不是P?AB??P?A?,故B错.
对于C选项,因为B?A,由条件概率公式PBA?件时,才会有PBA?P?B?；所以C错.
对于D选项,因为B?A,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故
??P(AB),当B,A是相互独立的事P(A)??P?B?A??0,所以(D)错.
(5)【答案】(C)
【解析】由离散型随机变量概率的定义,有
P?X?Y??P?X??1,Y??1??P?X?1,Y?1?
?P?X??1}?P{Y??1??P?X?1}?P{Y?1?
?11111????. 22222故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.
对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.
三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在x?[e,e]上,I?(x)?2lnxlnx2I(x),故函数在[e,e]上单??022x?2x?1?x?1?调增加,最大值为I(e).
由
2dx?d(1?x)1??d,有 22(1?x)(1?x)(1?x)I(e)??2e2e?1?dt??lntd?? 2?e?t?1??t?1?e2e22lntee2lntdtlnt11????????(?)dt
ett?1et?1et?1t?1t??ee2212??ln(e?1)?2??ln(e?1)?1? 2e?1e?11e?1??ln. e?1e??【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
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若F(t)????(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则
F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.
2.假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则
?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.
(2)【解析】区域D是无界函数,设
yyDb?D?0?y?b??{?x,y?0?y?b,?x?},
32不难发现,当b???时有Db?D,从而
y y?9x2 y?4x2??xeD?y2dxdy?limb?????xeDb?y2dxdy?limb???0?be?y2dy?y2y3xdx
O x
b1211?lim?(y?y)e?ydy 2b???049bb255?y22?lim?yedy t?y lim?e?tdt 72b???0144b???0255?lim(1?e?b)?.
b???1441441(3)【解析】因系数an?2(n?1,2,),故
n1n?1??an?1n2lim?lim?lim?1, 2n??an??n??1?n?1?n2n这样,幂级数的收敛半径R?21??1.因此当?1?x?3?1,,即2?x?4时级数绝对收敛.
?11当x?2时,得交错级数?(?1)2；当x?4时,得正项级数?2,二者都收敛,于是原级
nn?1n?1nn?数的收敛域为[2,4].
?an?1n【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果??lim,其中an,an?1是幂级数?anx的
n??an?0n相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径
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?1??, 0?????,??R????, ??0,
?0, ????.???2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1)un?un?1,n?1,2,?(?1)n?1?n?1un满足：
; (2)limun?0.
n??则
?(?1)n?1?n?1un收敛,且其和满足0??(?1)n?1un?u1,余项rn?un?1.
n?1?3．p级数：
1当p?1时收敛；当p?1时发散. ?pnn?1?(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
?cosxdx??sinx?cosxdxdx?C? y?e?elnxe???????e?sinx[xlnx?x?C]. ?e?sinx?lnxdx?C???方法2: 用函数e?P(x)dx?e?cosxdx?esinx同乘方程两端,构造成全微分方程.
方程两端同乘esinx,得esinxy??yesinxcosx?(yesinx)??(yesinx)??lnx,再积分一次得
yesinx?C??lnxdx?C?xlnx?x.
最后,再用e?sinx同乘上式两端即得通解y?e?sinx[xlnx?x?C].
【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为
?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. Q(x)e y?e??????
四、(本题满分9分)
【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为
2??15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2?(x1?x2)
?15?13x1?31x2?8x1x2?2x1?10x2.
22由多元函数极值点的必要条件,有
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?????x??4x1?8x2?13?0,?1?x1?0.75,x2?1.25. ??????8x1?20x2?31?0,???x2因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万
元可获最大利润.
(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)
2??15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2,
在x1?x2?1.5时的条件最大值.拉格朗日函数为
2L(x1,x2,?)?15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2??(x1?x2?1.5),
??L??x??4x1?8x2?13???0,?1??L由 ???8x1?20x2?31???0,
?x?2??L??x1?x2?1.5?0????x1?0,x2?1.5.
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
【相关知识点】拉格朗日乘数法:
要找函数z?f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
L(x,y)?f(x,y)???(x,y),
其中?为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
?fx(x,y)???x(x,y)?0,??fy(x,y)???y(x,y)?0, ???(x,y)?0.由这方程组解出x,y及?,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点.
五、(本题满分6分)
【解析】方法1:当a?0时,f(a?b)?f(b)?f(a)?f(b),即不等式成立； 若a?0,因为
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f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0) ?[f(a?b)?f(b)]?[f(a)?f(0)]?f?(?2)a?f?(?1)a?a[f?(?2)?f?(?1)],其中0??1?a?b??2?a?b.又f?(x)单调减少,故f?(?2)?f?(?1).从而有
f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0)?0,即f(a?b)?f(a)?f(b).
方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令F(x)?f(x)?f(a)?f(a?x),x?[0,b],由于f(0)?0,所以F(0)?0,又因为
F?(x)?f?(x)?f?(a?x),且a?0,f?(x)在(0,b)单调减少,所以F?(x)?0,于是F(x)在[0,b]上单调递增,故F(b)?F(0)?0,即
f(a?b)?f(a)?f(b),其中0?a?b?a?b?c.
【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间?a,b?内可导,那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使等式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立.
六、(本题满分8分)
【解析】本题中,方程组有解?r(A)?r(A).(相关定理见第一题(4))
对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以??3?、??5?分别加到第二、四行上,有
?1?3??0??512141123111?3263?1a??11111?0?1?2?2?60????b??01226??2??0?1?2?2?6a??3a??, b??2?5a?第二行乘以1、??1?分别加到第三、四行上,第二行再自乘??1?,有
?11111?1226?????a?3a??. b?3a??2?2a?(1) 当b?3a?0且2?2a?0,即a?1,b?3时方程组有解. (2) 当a?1,b?3时,方程组的同解方程组是