1．2.1 任意角的三角函数
整体设计
教学分析
学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．
本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．
利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．
三维目标
1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．
2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．
3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题． 重点难点
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．
教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．
1
课时安排 2课时
教学过程 第1课时
导入新课
我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．
推进新课
新知探究
任意角的三角函数
1．任意角的三角函数的定义．
角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：
三角函数 sinα cosα tanα 定义 y rx ry x定义域 R R π{α|α≠kπ＋，k∈Z} 22．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．
图1
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．
教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合
2
与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r＝x＋y>0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.
22
图2
根据初中学过的三角函数定义，我们有 MPyOMxMPy
sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝. OPrOPrOMx怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？
教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，yxπ
对于确定的角α，比值和都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝＋kπ(k∈Z)
rr2π
时，角α的终边在y轴上，故有x＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠
2y
＋kπ，k∈Z)，比值也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分
x别叫做角α
的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数
(trigonometric function)．
由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．
图3
3
与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2)sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．
研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面y内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝，因为y恒有意义，即α取任意实数，
ry恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函yy
数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且
xxy
仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，
xπ
即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠＋kπ(k∈Z)．(由学生填写下表)
2
三角函数 sinα cosα tanα
三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．
定义域 R R π{α|α≠＋kπ，k∈Z} 2 应用示例
思路1
例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．
4
图4
解：因为x＝2，y＝－3，所以r＝2＋?－3?＝13. y－3313x2213
所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，
r13r131313y3
tanα＝＝－. x2
点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解. 变式训练 5π 求的正弦、余弦和正切值． 35π解：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝，如图5. 32
2
图5 13易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，－)． 225π35π15π所以sin＝－，cos＝，tan＝－3. 32323
例2见课本本节例2. 变式训练 1．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角． 5