??sinθ<0，???tanθ>0. ①② 证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角． 因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上； 又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限． 因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限． 于是角θ为第三象限角． 反过来请同学们自己证明． 点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力. 2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 答案：C 思路2
例1已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3secα＝________.
活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？
解析：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则 x＝k，y＝－3k，r＝k＋?－3k?＝10|k|. (1)当k>0时，r＝10k，α是第四象限角，
y－3k310r10k
sinα＝＝＝－，secα＝＝＝10，
r10xk10k
310
∴10sinα＋3secα＝103(－)＋310＝－310＋310＝0.
10(2)当k<0时，r＝－10k，α为第二象限角，
2
2
6
y－3k310r－10k
sinα＝＝＝，secα＝＝＝－10，
r－10k10xk310
∴10sinα＋3secα＝103＋33(－10)＝310－310＝0.
10综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0. 答案：0
点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y＝－3x上是一致的．
例2求函数y＝sinα＋tanα的定义域．
活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．
π
解：要使函数y＝sinα＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋(k∈Z)．
2由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)．
ππ
∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<＋2kπ，或＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z}．
22点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域. 变式训练 求下列函数的定义域： sinx＋cosx(1)y＝sinx＋cosx；(2)y＝sinx＋tanx；(3)y＝. tanx解：(1)∵使sinx、cosx有意义的x∈R， ∴y＝sinx＋cosx的定义域为R. (2)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义． 7
x∈R，??∴有?πx≠kπ＋.?2? π∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}． 2(3)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0. π??x≠kπ＋，2∴有???x≠kπ (k∈Z)． sinx＋cosxkπ∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}. tanx2
知能训练
课本本节练习1～6.
课堂小结
本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．
作业
课本习题1.2 1,5,6.
设计感想
关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．
教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．
备课资料
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一、关于余切、正割、余割函数
设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是
xrr
cotα＝，secα＝，cscα＝.
yxy
角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数． 二、备用习题
1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cosα的值是( ) A.
1313 B. 131213213
D．± 1313
tanα
<0，则α在( ) sinα
C．±
2．已知tanαcosα>0，且
A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第三、四象限 3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )
①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570° A．1 B．2 C．3 D．4 4.
tan?－150°?cos?－210°?cos420°tan?－600°?
＝__________.
sin?－330°?
5．确定下列各式的符号：
(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°. 6．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，则角x是第__________象限角． 参考答案：1.D 2.A 3.A 4.
3 2
5．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0. 3π
(2)∵<6<2π，∴6是第四象限角．
2∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.
(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.
6．一 解析：由tanx>0，知x为第一或第三象限角，而当x是第三象限角时，sinx
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与cosx都取负值，这与sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角．
第2课时
导入新课
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．
思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．
推进新课
新知探究
活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线． 2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．
教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．
当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段： 如果x>0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.
如果y>0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.
引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．
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