yyxx
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝＝＝y＝MP，cosα＝＝＝x＝OM.
r1r1这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线．
类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知yAT
识，就有tanα＝＝＝AT.
xOA
这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线(如图6、7)．
当角α终边在y轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tanα＝
y′＝1
y′＝AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点)；当角α终边在y轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，－y′故有tanα＝＝y′＝AT.
－1
图6 图7
即总有tanα＝AT.
因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线． 有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．
当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．
图8
师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：
(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． (2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线
11
时，一定要先作单位圆．
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．
应用示例
例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.
图9
活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.
答案：MP OM AT NQ ON AT′
点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒. 变式训练 利用三角函数线证明|sinα|＋|cosα|≥1. 解：当α的终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于r，所以|sinα|＋|cosα|＝1. 当角α终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|OM|＋|MP|>1，∴|sinα|＋|cosα|≥1.
12
1111
例2证明恒等式＋＋＋＝2. 2222
1＋sinα1＋cosα1＋secα1＋cscα
活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．
证法一：设M(x，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有 yxrr
sinα＝，cosα＝，secα＝，cscα＝. rrxy1111
原式左边＝2＋2＋2＋2
yxrr1＋21＋21＋21＋2rrxyrrxy
＝22＋22＋22＋22 r＋yr＋xr＋xr＋yr＋yr＋x＝22＋22 r＋yr＋x＝2＝右边． ∴原等式成立．
11
证法二：左边＝＋＋22
1＋sinα1＋cosα
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1＋ 111＋1＋22cosαsinα
2
1
11cosαsinα
＝＋＋＋ 22221＋sinα1＋cosα1＋cosα1＋sinα1＋sinα1＋cosα＝＋ 22
1＋sinα1＋cosα＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．
点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边. 变式训练 1＋secα＋tanα1＋sinα 求证：＝. 1＋secα－tanαcosαy证明：设M(x，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有sinα＝，rxyrcosα＝，tanα＝，secα＝. rxx2
2
13
ry1＋＋xxx＋r＋y?x＋r＋y??x＋r＋y?左边＝＝＝ ryx＋r－y?x＋r－y??x＋r＋y?1＋－xx?x＋r＋y?2r＋2xy＋2xr＋2ry＝ 22＝2?x＋r?－y2x＋2xr?r＋y??r＋x?r＋y＝＝， x?r＋x?xy1＋rr＋y右边＝＝，∴左边＝右边，故原等式成立. xxr
22 知能训练
课本本节练习7、8.
课堂小结
本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．
作业
利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sinα＋cosα＝1.
证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.
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图10
(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP， 即sinα＋cosα>1.
(2)在Rt△OMP中，MP＋OM＝OP， 即sinα＋cosα＝1.
设计感想
对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．
备课资料
一、一个三角不等式的证明
π
已知θ∈(0，)，求证：sinθ<θ 2 证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T，过点P作PM⊥x轴于点M，则MP＝sinθ，AT＝tanθ，θ，连结PA. 的长为 2 2 2 2 2 图11 ∵S△OPA 15