【点评】此题考查了平行向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．
22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）． 已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=cot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】根据猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，可知∠E=37°，在△DEF中，已知DF的长度即可求得DE的长度，然后证得D是AE的中点，从而求得AE的长度，根据猫头鹰从C点观察M点的俯角为53°，可知∠AMC=53°，进而求得DM，即可求得AM，在△AMC中，根据余切函数求得AC，即可求得BC．
【解答】解∵DF=3，∠E=37°，cot37°=∴DE=3?cot37°，
∵DF=3米，AB=6米，AC∥DF， ∴D是AE的中点， ∴AE=2DE=6?cot37°， ∵cot53°=
，
，
∴DM=3?cot53°，
∴AM=AD+DM=3（cot37°+cot53°）， ∵cot37°=
，
∴AC=AM?cot37°，
∴BC=AC﹣6≈2.28（米）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．
23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C． （1）求证：EB?BD=BM?AB； （2）求证：AE⊥BE．
【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根据相似三角形的性质得到
，
于是得到结论；
（2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论． 【解答】证明：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠EBM=∠C， ∴∠EBM=∠ABC， ∴∠ABE=∠DBM， ∵∠BAE=∠BDF， ∴△BEA∽△BDM， ∴
，
∴EB?BD=BM?AB；
（2）连接AD，
∵AB=AC，点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∵
，∠ABD=∠EBM，
∴△ABD∽△EBM， ∴∠ADB=∠EMB=90°， ∴∠AEB=∠BMD=90°， ∴AE⊥BE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
2
（1）求这个二次函数y=x+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．
2
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案． 【解答】解：（1）将B、C点代入函数解析式，得
，
解得，
2
2
这个二次函数y=x+bx+c的解析式为y=x﹣2x﹣3； （2）四边形POP′C为菱形，得 OC与PP′互相垂直平分，得
yP=
﹣，即x﹣2x﹣3=﹣，
，x2=
（舍），P（
，﹣）；
2
解得x1=
（3）∠PBC＜90°，
①如图1，
当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，
BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3， 设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），
2
将点P代入代入y═x﹣2x﹣3中， 解得m1=0（舍），m2=1，即P（1，﹣4）； AO=1，OC=3，CB=此时
=
=3
，CP=
=
，
=3，△AOC∽△PCB；
②如图2，
当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D， BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，
设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），CH=﹣3﹣（m﹣2m﹣3）=﹣m+2m，
2
PH=m，PD=3﹣m，BD=﹣（m﹣2m﹣3）． △CHP∽△PDB，
=
，即
=
，
2
2
解得m=，m=（不符合题意，舍），
此时， ==≠=3，
以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键． 25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．
（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长； （2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．
【考点】相似形综合题． 【分析】（1））根据题意可先求出CD=6，根据BF⊥DE和F为线段BH中点的条件，由等腰三角形三线合一的性质得到△BHD为等腰三角形，从而求出BD=HD=3，再求CH=3﹣6； （2）设BE=x，CM=y，要求y关于x的函数解析式，先利用AB∥CH，得到成比例线段得到代入
==
，再根据△BCH∽△DCE，得到 中，整理化简可得y=
=
=，则可以用含x的式子表示CH=
=
，，
（根据点E在线段BC上，则可得到0＜x＜3）
=
=，
（3）①如下图2，当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，根据平行线等分线段定理得到
根据题意易证△BCH∽△DCE，根据其相似比得BF=BH=DE，再根据△BFE∽△DCE的相似比
=得到=，解方程即可得x=21﹣6 （根据x=21+6＞3，舍去）②当E在射线
BC上时（图3），GF∥BE，设GF与CD交点为K，先根据①中条件可求出GK=2，DK=4，设KF=a，