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第十讲：图形变换
知识梳理
知识点1、平移变换
重点：掌握平移的概念及性质 难点：平移性质的运用
1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．
注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离． 2. 平移变换的性质
（1）平移前后的图形全等．即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： （2）对应线段平行（或共线）且相等； （3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等． 如图所示，
，且
共线，且
来源学科网Z.X.X.K]
3. 用坐标表示平移：
（1）在平面直角坐标系中，将点①向右或向左平移a个单位②向上或向下平移b个单位
点点
： 或或
（2）对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式作出改变
例1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）
[来源:Z&xx&k.Com]
A. B. C. D.
解题思路：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置．选项B的两个图形不是全等形；选项C、D中两个图形的方向发生了改变．
解答：选A
例2．如图1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540米，则道路的宽应是 米？
2
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20m 20-x 32m 图1
32 解题思路：尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了． 解答：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方， 设道路宽为x米，则有 32x?(20?x)?x?32?20?540， 整理，得 x?52x?100?0， ∴(x?50)(x?2)?0， ∴x1?50（不合题意，舍去），x2?2． ∴道路宽应为2米．
练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1，则图中阴影部分的面积是 [答案为5] 知识点2、轴对称变换
重点：掌握轴对称的概念及性质 难点：轴对称的性质的运用
1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点．
如图所示，
关于直线l对称，l为对称轴．
2
2. 轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．
一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条．
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3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：
轴对称 区别 轴对称是指两个图形的对称关系 联系 把轴对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称轴对称 轴对称图形是指具有某种对称特性的图形[来源:Z#xx#k.Com][来为轴对称图形；把轴对称图形的互相对称的两个部分看成一个图形[来源:学。科。网]源:Zxxk.Com] “两个图形”，则它们成轴对称[来源:学科网][来源:学科网][来源:学*科*网][来源:学#科#网Z#X#X#K] 4. 轴对称的性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等； （2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；
（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上； （4）轴对称图形的重心在对称轴上． 如图
被直线l垂直平分．
5. 轴对称变换的作图：
举例说明：
已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD关于直线l的对称图形． 作法： （1）过点A作
l于E，延长AE到A’，使
； ．则四边形
，则得到点A的对称点；
（2）同理作B、C、D的对称点
（3）顺次连结图形．
6. 用坐标表示轴对称：
点点点
关于x轴对称的点为关于y轴对称的点为关于直线
的对称点为
为四边形ABCD关于直线l的对称
； ；
；
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点点点
关于直线关于直线关于直线
的对称点为的对称点为的对称点为
；
．
例1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
解题思路：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能完全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分．所以解决此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴．
解答：选D． 例2. 如图所示，
．由此得出下列判断：①
的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
关于直线l对称，将
；②
；③
向右平移得到．其中正确
解题思路：由于
是从
平移得来的，故
，但
与
关于l成轴对称，不一定有
是全等变换，故②和③正确．
解答：选B．
，故①不一定正确；平移和轴对称变换都
练习1. 如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是__________．
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2. 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，则∠
等于（ ）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 70°
与P关于OB对称，
与P关于OA对称，
答案：1.
2. 60°
知识点3、旋转变换
重点：掌握旋转的概念及性质 难点：旋转的性质的运用
1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角． 注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角 2. 旋转变换的性质： （1）旋转前、后的图形全等
（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3. 旋转变换的作图：
（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； （2）找出能确定图形的关键点；
（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；
（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形．
5. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于360°）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形．
6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点． 7. 中心对称的性质：
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