例7求极限lim((x?a)(x?b)?x)
x???1x4：“1”型 （公式lim(1?)?e,lim(1?x)x?e的利用）
x??x?ox?1分析：①判断是否是“1?”型
1②转换成（1+□）的形式
1③则lim[f(x)]xg(x)?lim[（1+□）]?(x)?exlim?(x)x?ea
例8（1）lim(x??x?2ax)?8,求a x?a11?cosxx（2）求lim
x??11sin?cos?1xxlnsin5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量 例9求极限limx?arctanx?01 x6：用罗必达法则求极限
注意: ①零因式最好先用等价无穷小替换
②非零因式的极限可以先求出来
f(x)f/(x)0??lim/[1]“”型和“”型 （lim）
xg(x)xg(x)0?[2] “0??” 型
??limx??limf(x)?g(x)=?x?lim?x??g(x)[g(x)]/?lim?ax11/[]f(x)f(x)f(x)[f(x)]?lim?ax11/[]g(x)g(x)/ 其中f(x)→0 , g(x)→∞
注：①如f(x)或g(x)是ln[φ(x)]的形式，则该函数一般在分子
②分母一般较分子简单 [3] “1” 型﹑“0” 型﹑“?” 型
limx?00lim[f(x)]g(x)?limeg(x)?lnf(x)?exxlnf(x)1g(x)limx?e[lnf(x)]/1/[]g(x)?ea
[4] “???” 型
11
分析：一般采用通分的方式转化为“小替换求极限 例10 求极限 (1)limex(x???0?”型和“”型，然后利用罗必达法则及等价无穷0?11?) （2）lim(n?n??xx?11e?1x1x1n)(令
1?x) n(3)limxx??0k1?lnx （4）lim(x?e)
x???n1cos2xn?lnnlnn（5）lim() ) （6）lim(2?n??n?lnnx?0sinxx27:不能用罗必达法则求解的“
0?”型和“”型 0?分析：一般采用等价无穷小替换和无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量
x2sin例11求极限limx?0sinx1x
三、连续
（一）．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。会判断分段函数在分段点的连续性。
连续定义：limf(x)?f(x0)?lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)
x?x0x?x0x?x0?sinx?例1、(1)如f(x)??x1?x?(1?x)x?0,讨论f(x)在x?0处的极限是否存在
x?0?sin3x?x?0?1?cosbx(2)已知f(x)?? 如果limf(x)存在,求b
x?0?3?ln(1)x?0?1?2x?x（二）．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判
断间断点的类型。
1、找间断点：（1）初等函数---无定义点；（2）分段函数---分段点 2、类型：
如果单侧极限lim?f(x)及lim?f(x)都存在，则x0称为第一类间断点；
x?x0x?x0如果单侧极限lim?f(x)及lim?f(x)中只少有一个不存在，则称x0为第二类间断点．
x?x0x?x0 12
如果间断点处至少有一个单侧极限为无穷大，则称该间断点为无穷间断点；如果间断点处的左右极限都存在，但不相等，称该间断点为跳跃间断点；如果间断点处的左右极限都存在且相等，那么，只要令该点的函数值为该点的极限值，则函数连续，因此，称该间断点为可去间断点。
x2?111例2、（1）f(x)?；（2）f(x)?sin；（3）f(x)?；
x?1x?1x （4）f(x)?x?2x?1f(x)?； （5）； 2(x?1)(x?4)x?x?2?x2?1,x?0?sinx,x?0?? （6）f(x)??0,x?0；（7）f(x)??x
??x?1,x?0?2,x?0?（三）．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连续的”，并会利
用初等函数的连续性求函数的极限。
（四）．掌握闭区间上连续函数的性质：最值定理(有界性定理)，介值定理(零点存在定理)。会运用介值定理推证一些简单命题。
定理1（最值存在定理）：
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一定有最大值M和最小值m（见图1-39）．也就是说，存在?,??[a,b]，使得对一切x?[a,b]，有不等式
f(?)?f(x)?f(?)成立．
定理2（有界性定理）：
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一定有界．即存在常数K?0，使f(x)?K对任一x?[a,b]都成立．
M y y f(b) m O a ? ? bx 图1-39
定理3（零点存在定理）：
? O a ? b x f(a) 图1-40
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0，则在开区间(a,b)内至少存
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在函数f(x)的一个零点（见图1-40），即至少存在一点?（a???b），使得f(?)?0．
定理4（介值定理）：
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在此区间的端点处取不同函数值
f(a)?A及f(b)?B，
那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少存在一点?（a???b），使得f(?)?C．
例1、（1）求证：五次代数方程x?5x?1?0在区间(1,2)内至少有一个根． （2）证明：三次代数方程x?4x?1?0在开区间(0,1)内至少有一个根．
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2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
一、填空题：
sinxx的连续区间是____________________. ?e2x(x?1)1?2．lim.
x???2_________________x(x?x?4)__________1．函数y??1?1(x?1)2e,x?1?2(x?1)??4．当a?_____,b?____时，函数f(x)??a, x?1,在点x=1处连续.
?bx?1, x?1???2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
一、填空题：
1．lim2?3?5?__________________。
n??nnnn6x?x2?82．函数f(x)?2的间断点是______________________。
(x?2x?3)(x?5)?1?(1?x?1?x), x?03．若f(x)??x在x?0处连续，则A?________________
??A, x?0二．选择题.
1． 函数f(x)的定义域为?0,1?，则函数f(x?)?f(x?)的定义域是（）
1515?A????14??16??14?,? ?B??,? ?C??,? ?D??0,1? ?55??55??55?2． 当x?0时，与x不是等价无穷小量的是???[ ]
2x ?C?tanx?x3 ?D?sinx?x ?A?sinx?x2 ?B?x?sin三．计算题：
?1x?3x2) 1．计算lim(x??x?62007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
一、填空题： 1．函数y?1的定义域是______________________。
lg?x?2?二．选择题：
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