数学建模习题选做 陈文滨
?1??T?p?a?b(q?)?10???2b?4???p2?1?a?b(q0?3?T)??2b?4??? ?在销售期T内的总销量为
Q0??(a?bp1)dt??T(a?bp2)dt?aT?2T20TbT(p1?p2)2
于是得到如下极值问题：
p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2max?(p1,p2)?(a?bp1)(??)?(a?bp2)(??)228228
s.t
aT?bT(p1?p2)?Q02
利用拉格朗日乘数法，解得：
aQ0?T?p??1b?bT?8?aQ?T?p2??0?bbT8 ?即为p1,p2的最优值.
11、某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克, B原料5千克；一件乙产品用
A原料2千克, B原料4千克.现有A原料20千克, B原料70千克.甲、乙产品每件售价
分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 【模型建立】
设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为： max S=20x+30y
s.t. 【模型求解】
?x?2y?20??5x?4y?70?x,y?0,x,y?Z?
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
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数学建模习题选做 陈文滨
可行域为：由直线l1：x+2y=20, l2:5x+4y＝70 l2 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l：20x+30y=c在可行域内 l 平行移动.
易知：当l过l1与l2的交点时， l1 x S取最大值.
?x?2y?20?x?10??5x?4y?70y?5
由? 解得? 此时
12某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
体积 货物 （立方米/箱） 甲 乙 5 4 （百斤/箱） 2 5 （百元/箱） 20 10 重量 利润 Smax＝20?10?30?5＝350（元）
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润. 【模型建立】
设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示
max z?20x1?10x2
?5x1?4x2?24?st?2x1?5x2?13?x,x?0,x,y?Z ?12
【模型求解】
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这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线
l1:5x1?4x2?24
l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内x2 . 平行移动
易知：当l过l1与l2
的交点时，z取最大值
由
?5x1??2x1?4x2?24?x1??5x2?13x 解得 ?2?4?1
zmax?20?4?10?1?90.
a?4.b13、在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力
x0与y0相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负. 【模型建立】
用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
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?dx?dt??ay?dy???bx, ?1? ?dt?x?0??x,y?0??y00?【模型求解】
?0?a?A????b0?? 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为
?E?A??a??2?ab?0. ??1,2??abb?
??2??2????，????1??1?
abt??1,?2对应的特征向量分别为??x?t????2?????1?的通解为?C1??y?t???1??e????再由初始条件，得
?2???C2??1??e??abt.
?x?x?t???0?y0?e?2?dxabt?x???0?y0?e??2?abt ???2?
?1?可得dy?bx.又由
ay
2222ay?bx?k, 而k?ay?bx ???3? 00其解为
22ay0?bx0kb3当x?t1??0时，y?t1????y01??y0.aaa2(1)
3y0.2即乙方取胜时的剩余兵力数为
?x?x?t1??0,由（2）得?0?y0?e?2?又令
abt1?x???0?y0?e??2?abt1abt1?0.
x0?y0,得e2注意到
abt1?x0?2y0?e22y0?x0.
?3, ?t1?ln3.4b
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则
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数学建模习题选做 陈文滨
?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4??dt?x(0)?x,y?0??y00?由?4?得
dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy.22ay?2ry?bx?k, dy?bx 相轨线为
22.0r?r2?2k?ay?2ry0?bx或a?y???bx??k.a?a? 此相轨线比书图11中的轨线上移了
20r?b2r2?rk?0,亦即?y0???x0?2..a?aa a乙方取胜的条件为?
14、在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
(1)分别就h?rN/4，h?rN/4，h?rN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同． 【模型建立】
设时刻t的渔场中鱼的数量为x?t?，则由题设条件知：x?t?变化规律的数学模型为
2dx(t)x?rx(1?)?hdtN
记
F(x)?rx(1?x)?hN
【模型求解】
(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由F?x??0，得
rx(1?x)?h?0N ．
r2x?rx?h?0??????????1?N即
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