数学建模习题选做 陈文滨
n2nE?E'?4m，6m2 由上知：
E'/E?2n2n?13m，当m?n时，3m， ? E'?E．
?
所以第二种办法比第一种办法好．
20、某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？ 【模型建立】
我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a>0). 【模型求解】
f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有
h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是时间
t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,
?t0?[8,17],使
h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).
21、已知某商品在k时段的数量和价格分别为
xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生yk?1?f(xk?1?xk)x?g(yk).试建2和k?1产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为
立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 【模型建立】
2014年春 - 26 / 33 - 数学建模
数学建模习题选做 陈文滨
商品的需求函数和供应函数分别为
yk?1?f(xk?1?xk)x?g(yk). 2和k?1P(x,y)P设曲线f和g相交于点000，在点0附近可以用直线来近似表示曲线f和g
【模型求解】
yk?1?y0???(xk?1?xk?x0),??02 --------------------（1）
由（2）得
xk?1?x0??(yk?y0),??0 --- ----------------（2）
xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3）
xk?2?x0????(xk?1?xk?x0)2
（1）代入（3），可得 ?
2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求
P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
2 2?????????0 容易算出其特征根为
?1,2????(??)2?8???4 ---------------（5）
当???8时，显然有
????(??)2?8?????2???44 -----------（6）
从而
?2??2 2，在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出
?1,2?1，必须 ???2．
?1,2???2
要使特征根均在单位圆内，即 故
P0点稳定平衡条件为 ???2．
2014年春 - 27 / 33 - 数学建模
数学建模习题选做 陈文滨
dx(t)x?rx(1?)N 22、设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：dt其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h. （1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性; （2）．试确定捕捞强度
*x0平.
Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,并求此时渔场鱼量水
（1）【模型建立】
dx(t)x?rx(1?)?hx(t)变化规律的数学模型为 dtN
【模型求解】
f(x)?rx(1?记
xxr2)?hrx(1?)?h?0x?rx?h?0NN,令 ，即 N----（1）
??r2?4rh4h?r(r?)x1,2?NN ， （1）的解为：
N?1?24hNrN
当??0时，（1）无实根，此时无平衡点；
②当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为
x0?N2.
f'(x)?r(1?xrx2rx)??r?'NNN ，f(x0)?0 不能断定其稳定性.
f(x)?rx(1?但
?x?x0 及x?x0 均有
xrNdx)??0?0N4?x0不稳定； ，即dt③ 当??0时，得到两个平衡点：
N?N1?x1?2x1?4hrN ，
N?N1?x2?24hrN
易知
NNx2?2 ， 2 ?f'(x1)?0， f'(x2)?0
2014年春 - 28 / 33 - 数学建模
数学建模习题选做 陈文滨
?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定.
（2） 【模型建立】
maxh??s.t.f(x)?0
最大持续产量的数学模型为： ?【模型求解】
maxh?rx(1?xNrNN**)x0?h?x0?N， 易得 2 此时 4，但2这个平衡点不稳定.
x?NNN2,且尽量接近2,但不能等于2.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量
23、某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示： 品种 甲 乙 原材料 2 3 能源消耗(百元) 劳动力(人) 1 6 4 2 利润(千元) 4 5 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润. 【模型建立】
设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为
maxS?4x?5ys.t.2x?3y?1400x?6y?24004x?2y?2000 x?0,y?0,x,y?Z 【模型求解】
用图解法.可行域为：由直线
2014年春 - 29 / 33 - 数学建模
数学建模习题选做 陈文滨
l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400l3:4x?2y?2000及x?0,y?0
组成的凸五边形区域.
l与l3的交点时，S取最
直线l:4x?5y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过1?2x?3y?1400?4x?2y?2000 解得：x?400,y?200
大值. 由?Smax?4?400?5?200?2600（千元）.
故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.
24、证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质： （1） A的秩为1，唯一非零特征根为n； （2） A的任一列向量都是对应于n的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A满足
aij?ajk?aik，i,j,k?1,2,?,n
于是对于任意两列i,j，有
aik?aij，?k?1,2,?,n?.即i列与j列对应分量成比例. ajk从而对A作初等行变换可得：
?b11b12?00初等行变换?A?????????0?0?b1n??0??? B ?????0?这里B?0.?秩?B??1，从而秩?A??1
再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使PA?B，于是
?c11c12?00?1?1?PAP?BP?????0?0?c1n??0???C ?????0?2014年春 - 30 / 33 - 数学建模