数学建模习题选做 陈文滨
易知C的特征根为c11,0,?,0（只有一个非零特征根）.
又?A～C，?A与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为c11，又?对于任意矩阵有?1??2????n?Tr?A??a11?a22???ann?1?1???1?n.故A的唯一非零特征根为n.
（2）对于A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?，?k?1,2,?,n?
T有 A?a1k,a2k,?,ank?T?n??n?aaa??1jjk???1k??jn?1??jn?1??na1k??aa??a??na2k?2jjk????2k?????n?a,a,?,a?T ???1k2knkj?1j?1????????n???n???na???aa???a??nk?njjknk????j?1j?1????T?A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?都是对应于n的特征向量.
25、在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好． 【模型建立】
两种情况的钩子数均为2m．第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子． 【模型求解】
① 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为
n2m??1?? D??? ?1??1?n?2m????? 当
n较小，n??1时，有 2m2014年春 - 31 / 33 - 数学建模
数学建模习题选做 陈文滨
D?2m??1n?n?1???n?1 1?1???1?????2n??2m4m8m??n 4m D?1?E ， E? ② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：
对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对．
1； m1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1?；
m11 记p?,q?1?．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空
mm 任一只钩对被一名工人接触到的概率是
的概率为qn，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上１件产品的概率为npqn?1，其空钩数为m．所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为 2m?qn?m?npqn?1?m2qn?npqn?1 于是带走产品的平均数是 2m?m2qn?npqn?1， 未带走产品的平均数是 n?2m?m2q?npq ?此时传送带效率公式为
nn?112m?m2qn?npn?qm?1?n?1?????2?2?1????1??? D'?nn?m?m???m?????????nn?1??）
?? ③ 近似效率公式：
1?nn?n?1?1n?n?1??n?2?1?由于 ?1???1?? ?23m2m6m?m?n1?? ?1???m?n?1?1?n?1?n?1??n?2?1 ?2m2m? D'?1??n?1??n?2?
6m2n2当n??1时，并令E'?1?D'，则 E'? 26m④ 两种办法的比较：
2014年春 - 32 / 33 - 数学建模
数学建模习题选做 陈文滨
n2n 由上知：E?，E'? 24m6m ? E'/E?2n2n?1， ? E'?E． ，当m?n时，
3m3m所以第二种办法比第一种办法好． 2014年春 - 33 / 33 - 数学建模