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应当指出，长度的相对性只发生在平行于运动的方向上，在垂直于运动的方向上没有这个问题。为了说明这一点，看图8－9中的例子。为了测量列车的高度A′D′，地面观测者可用一竖立的杆在车厢经过时同时记下A′D′两点在杆上的位置A、D，AD即为车高。按照以前所述的对钟办法，若从A、D两点发出的光讯号同时到达其中点C的话，它们也会同时到达A′、D′的中点C′。亦即，在地面参考系K中校准了放在A、D两点的钟，在列车参考系K′观测也是同步的，从而车上的观测者认为A、A′和D、D′是同时对齐的。于是，A′D′=AD，即在两参考系内测量的横向的长度是一样的。
四、时间膨胀和长度收缩
4.1时间的膨胀
前面我们只对时空相对性作了定性的讨论，下面推导一些定量化的公式。
看另外一个理想实验。假定列车（K′系）以匀速V相对于路基行驶，车厢里一边装有光源，紧挨着它有一标准钟。正对面放置一面反射镜M，可使横向发射的光脉冲原路返回（见图8－10a）。设车厢的宽度为b，则在光脉冲来回往返过程中，车上的钟走过的时间为
?t??2bc
从路基（K系）的观点看，由于列车在行进，光线走的是锯齿形路径（图8－10b），光线“来回”一次的时间为：?t?2lc?2cb?(2v?t2)
2注意，这里用到了在两参考系中车厢的宽度b一样的性质。由两式消去b，得Δt和Δt′之间的关系：?t??t?1?vcvc22??t?1??2?r?t?
式中??， ???t?1??2
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小于1??2?1，r?1，故?t??t?
这就是说，在一个惯性系（如上述K系）中，运动的钟（如上述列车里的钟）比静止的钟走得慢。这种效应叫做爱因斯坦延缓，时间膨胀，或钟慢效应。
必须指出，这里所说的“钟”应该是标准钟，把它们放在一起应该走得一样快。不是钟出了毛病，而是运动参考系中的时间节奏变缓了，在其中一切物理、化学过程，乃至观察者自己的生命节奏都变缓了。因而在运动参考系里的人认为一切正常，并不感到自己周围发生的一切变得沉闷呆滞。
还必须指出，运动是相对的。在地面上的人看高速宇宙飞船里的钟慢了，而宇宙飞船里的宇航员看地面站里的钟也比自己的慢。今后我们把相对于物体（或观察者）静止的钟所显示的时间间隔Δτ叫做该物体的固有时间。（8.1）式中的Δt′就是列车里乘客的固有时间Δτ，故
Δt＝rΔτ. （8.1′）
在日常生活中爱因斯坦延缓是完全可以忽略的，但在运动速度接近于光速时，钟慢效应就变得重要了。在高能物理的领域里，此效应得到大量实验的证实。例如，一种叫做μ子的粒子，是一种不稳定的粒子，在静止参考系中观察，它们平均经过2×10-6S（其固有寿命）就衰变为电子和中微子。宇宙线在大气上层产生的μ子速度极大，可达V＝2.994×10m/S＝0.998c。如果没有钟慢效应，它们从产生到衰变的一段时间里平均走过的距离只有（2.994×108m/s）×（2×10-6S）≈600m，这样，μ子就不可能达到地面的实验室。但实际上μ子可穿透大气9000多米。试用钟慢效应来解释：以地面为参考系子的“运动寿命”为
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????1?vc22?2?10s2?3.16?10?5s
1?0.998按此计算，μ子在这段时间通过的距离为（2.994×108M/S）×（3.16×10-5S）≈9500m，这就与实验观测结果基本上一致了。
4.2长度收缩
现代化的方法测量一个物体的长度可以不用尺，而用激光。为了在相对静止的参考系K′内测量一直杆的长度，可在直杆的一端加一脉冲激光器和一接收器，另一端设一反射镜，如图8－11a所示。精密测得光束往返的时间间隔Δt′后，即可得知直杆的长度
L′=L0＝cΔt′/2. （8.3）
怎样找到有相对运动的参考系K中测得直杆的长度L与它的固有长度L0之间的关系呢？首先要弄清楚什么是不变的，什么是可比的。按照光速不变原理，光速c是不变的。另外，根据（8.1）式，从K系观测上述测量过程的时间间隔Δt与在K′系本身里的时间间隔Δt′是可比的：
?t??t?1?vc22
式中V为直杆在K系中的速度。下面我们就来看，此测量过程在K系里是怎样表现的，并从中找到Δt和L的关系。
在K系中观测，光束往返的路径长度d1和d2是不等的，从而所需的时间Δt1和Δt2也不等。设直杆以速度V沿自身长度的方向运动，它在时间间隔Δt1内走过距离VΔt1（见图8－11b），故
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（见图8－11c），由此得
这便是我们要找的Δt和L的关系式。与（8.3）式比较，有
由于上式里的根式小于1，这就是说，物体沿运动方向的长度比其固有长度短。这种效应叫做洛伦兹收缩，或尺缩效应。
在1.3节所举的μ子例子里，μ子以V＝0.998 c的速度垂直入射到大气层上，已知它衰变前通过的大气层厚度为L=9500m，在μ子本身的参考系看来，这层大气有多厚呢？因为对于μ子来说，大气层是以速度-V运动的，按洛伦兹收缩公式（8.5），其厚度为
这正是原先预期的结果。
阅读材料：宇宙执法者的历险
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宇宙执法者AD在A行星上被邪恶的EN博士所擒。EN博士给AD喝了一杯13小时后发作的毒酒，并告诉AD解药在距此40，000，000，000公里远的B行星上。AD得知此情况后立即乘上其0.95倍光速的星际飞船飞往B星，那么：AD能到达B星并取得解药吗？ 我们做如下的计算：A、B两行星之间的距离为40，000，000，000公里。飞船的速度是1，025，000，000公里/小时。把这两个数相除，我们得到从A行星到B行星需要39小时。那么AD必死无疑。
等一下！这只对于站在A行星上的人而言。由于毒药在AD的体内是要经过新陈代谢（才能发作）的，我们必须从AD的参照系出发研究这一问题。我们可以用两种方法做这件事情，它们将得到相同的结论。
1. 设想一个大尺子从A行星一致延伸到B行星。这个尺子有40，000，000，000公里长。然而，从AD的角度而言，这个尺子以接近光速飞过他身边。我们已经知道这样的物体会发生长度收缩现象。在AD的参照系中，从A行星到B行星的距离以参数γ在收缩。在95％的光速下，γ的值大约等于3.2。因此AD认为这段路程只有12，500，000，000公里远（400亿除以3.2）。我们用此距离除以AD的速度，得到12.2小时，AD将提前将近1小时到达B行星！
2. A行星上的观察者会发现AD到达B需要花费大约39小时时间。然而，这是一个膨胀后的时间。我们知道AD的“钟”以参数γ（3.2）变慢。为了计算AD参照系中的时间，我们再用39小时除以3.2，得到12.2小时。（也）给AD剩下了大约1小时（这很好，因为这给了AD20分钟时间离开飞船，另外20分钟去寻找解药）。 AD将生还并继续与邪恶战斗。
如果对上文中我的描述加以仔细研究，你会发现许多似是而非，非常微妙的东西。当你深入地思考它的时候，一般你最终将提出这样一个问题：“等一下，在AD的参照系中，EN的钟表走得更慢了，因此在AD的参照系中，宇宙旅行应花费更长的时间，而不是更短…… 好，这就是我们刚刚看到的。我们已经发现在AD相对于EN参照系旅行中的时间膨胀。在EN参照系中，AD是运动的，因此AD的钟走得慢。结果是在此次飞行中EN的钟走了39小时，而AD的钟走了12小时。这常常使人们产生这样的问题：相对于AD的系，EN是运动的，因此EN的钟应该走得慢。因此当AD到达B行星的时候，他的钟走的时间比EN的长。谁对？长还是短？
好问题。当你问这个问题的时候，我知道你已经开始进入情况了。在开始解释之前，我必须声明在前文所叙述的事情都是对的。在我所描述的情况下，AD可以及时拿到解药。现在让我们来解释这个徉谬。这与我尚未提及的“同时性”有关。相对论的一个推论是：同一参照系中的两个同时（但不同地点）发生的事件相对于另一个参照系不同时发生。
让我们来研究一些同时发生的事件。首先，让我们假设EN和AD在AD离开A行星时同时按下秒表。按照EN的表，这趟B行星之旅将花费39小时。换言之，EN的表在AD到达B行星时读数为39小时。因为时间膨胀，AD的表与此同时读数为12.2小时。即，以下三件事情是同时发生的：
1、EN的表读数为39 2、AD到达B行星 3、AD的表读数为12.2
这些事件在EN的参照系中是同时发生的。
现在在AD的参照系中，上述三个事件不可能同时发生。更进一步，因为我们知道EN的表一定以参数γ减慢（此处γ大约为3.2），我们可以计算出当AD的表读数为12.2小时的时候，EN的表的读数为12.2/3.2＝3.8小时。因此在AD的系中，这些事情是同时发生的：
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1、AD到达B行星
2、AD的钟的读数为12.2 3、EN的钟的读数为3.8
前两项在两个系中都是相同的，因为它们在同一地点——B行星发生。两个同一地点发生的事件要么同时发生，要么不同时发生，在这里，参照系不起作用。
从另一个角度看待此问题可能会对你有所帮助。你所感兴趣的事件是从AD离开A行星到AD到达B行星。一个重要的提示：AD在两个事件中都存在。也就是说，在AD的参照系中，这两个事件在同一地点发生。由此，AD参照系的事件被称作“正确时间”，所有其他系中的时间都将比此系中的更长（参见时间膨胀原理）。不管怎样，如果你对AD历险中的时间膨胀感到迷惑，希望这可以使之澄清一些。如果你原本不糊涂，那么希望你现在也不。
阅读材料：孪生子效应
让我们畅想一下乘接近光速的光子火箭去作星际旅游。离我们最近的恒星（南门二）有4光年之遥，来回至少8年多。“天阶夜色凉如水，坐看牵牛织女星。”牛郎星远16光年，织女星远26.3光年，一来一回就得三五十年，若天假其年，在一个人有生之日还来得及造访一次。但要跨出银河系，到最近的星系（小麦哲伦云）也要15万光年，今生今世不必问津了。
以上说法对吗？否！那是经典力学的算法，它只适用于地球参考系。考虑时间的相对性，光子火箭里乘客的固有时比这要短rˉ1倍。只要火箭的速度V可以无限趋近光速c，r可以趋于∞，无论目标多远，乘客在旅途上花费的固有时间原则上可以任意短。问题是，当他们回来的时候将看到什么？设想一对年华正茂的孪生兄弟，哥哥告别弟弟，登上访问牛郎织女的旅程。归来时，阿哥仍是风度翩翩一少年，而前来迎接他的胞弟却是白发苍苍一老翁了。这真应了古代神话里“天上方一日，地上已七年”的说法！且不问这是否可能，从逻辑上说得通吗？按照相对论，运动不是相对的吗？上面是从“天”看“地”，若从“地”看“天”，还应有“地上方一日，天上已七年”的效果。为什么在这里天（航天器）、地（地球）两个参考系不对称？这便是通常所说的“孪生子佯谬（twin paradox）”。
从逻辑上看，这佯谬并不存在，因为天、地两个参考系的确是不对称的。从原则上讲，“地”可以是一个惯性参考系，而“天”却不能。否则它将一去不复返，兄弟永别了，谁也不再有机会直接看到对方的年龄。“天”之所以能返回，必有加速度，这就超出狭义相对论的理论范围，需要用广义相对论去讨论。广义相对论对上述被看作“佯谬”的效应是肯定的，认为这种现象能够发生。
然而，实际上“孪生子”效应真的可能吗？真人作星际旅游，在今天仍是科学幻想；但在有了精确度极高的原子钟时代，用仪器来做模拟的“孪生子”实验已成为可能。实验是1971年完成的：将铯原子钟放在飞机上，沿赤道向东和向西绕地球一周，回到原处后，分别比静止在地面上的钟慢59ns和快273ns（1ns等于10ˉ9S）。因为地球以一定的角速度从西往东转，地面不是惯性系，而从地心指向太阳的参考系是惯性系（忽略地球公转）。飞机的速度总小于太阳的速度（即在该点地心参考系相对于地面参考系的速度），无论向东还是向西，它相对于惯性系都是向东转的，只是前者转速大，后者转速小，而地面上的钟转速介于二者之间。上述实验表明，相对于惯性系转速愈大的钟走得愈慢，这和孪生子问题所预期的效应是一致的。上述实验结果与广义相对论的理论计算比较，在实验误差范围内相符。因而，我们今天不应再说“孪生子佯谬”，而应改称孪生子效应了。
五、洛仑兹变换与速度变换 5.1洛伦兹变换公式
现在我们来讨论一个事件的时间和空间坐标在不同惯性系之间的变换关系。伽利略变换式就是这类的变换关系，不过它只适用于牛顿力学，不保证光速的不变性。下面我们要推
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