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导的变换关系以光速不变原理为依据，是相对论的坐标变换关系。假设有一个惯性参考系K，在其中取一个空间直角坐标系Oxyz，并在各处安置一系列对K系静止，且对K系来说是对准了的钟（我们把这些钟称作K钟）。在参考系K中一个事件用它的空间坐标（x，y，z）和时间坐标t（即在该地点K钟的读数）来描写。类似地，对于另一个惯性参考系K′，也在其中取一个空间直角坐标系O′x′y′z′，并在各处安置一系列对K′系静止的，且对K′系来说是对准了的钟（K′钟）。在参考系K′中，一个事件用它的空间坐标（x′，y′，z′）和时间坐标t′（该地点K′钟的读数）来描写。
为简明起见，设两坐标原点O、O′在t=t′＝0时刻重合，且K′系以匀速V沿彼此重合的x和x′轴正方向运动，而y和y′轴、z和z′轴保持平行（见图8－12）。于是OO??Vt
设在x、x′轴上的A点发生一事件，对K系来说A点的坐标为
式中的根式是由于K′系以速度V相对于K系运动而出现的尺缩因子，于是有
从中可将x′解出来：
因为K系和K′系的运动是相对的，若把上式里的V换为-V，带撇的量和不带撇的量对调，我们就得到从K系到K′系的逆变换关系：
从以上两式消去x′：
由此解出t′：
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如果A点不在x、x′轴上，则由于垂直方向长度不变，我们有y′=y，z′=z.综上所述，我们得到从K系到K′系空间、时间坐标的变换关系：
以上便是著名的洛伦兹变换方程。易见，在V< 把上式里的V换为-V，带撇的量和不带撇的量对调，得到从K系到K′系的逆变换关系： 上述洛伦兹变换的四个变量之间的变换，由于我们采取了特殊的x轴方向，y、z两个变量不变，（8.8）和（8.9）式简化成x、t两个变量之间的变换。这样，我们就可以用一张平面图将它们表示出来。为了量纲一致，我们用ct代替t作纵坐标，以x为横坐标，作图8－13a、b，分别对应正、逆洛伦兹变换（8.8）式、（8.9）式。可以看出，变换后的坐标系不再是直角的，但变换中两坐标轴的分角线（在高维空间实为圆锥面，称为光锥）x=±ct或x′=±ct′不变，这是光速不变原理要求的。 Phy8.Com 您的良师益友！ 高中物理吧（www.phy8.com） 全站精品资源免费开放下载！欢迎收藏访问！ 例题1 宇航员乘宇宙飞船以0.8c的速度飞向一个8光年远的天体，然后立即以同样速率返回地球。以地球为K系，去时的飞船为K′系，返时的飞船为K″系。在地球和天体上各有一个K钟，彼此是对准了的。起飞时地球上的K钟和飞船上的K′钟的指示t＝t′＝0. （1）求对应于宇航员所在参考系起飞、到达天体和返回地球这三个时刻所有钟的读数。 （2）假定飞船是2000年元旦起飞的。此后每年元旦宇航员和地面上的孪生兄弟互拍贺年电报。求以各自的钟为准他们收到每封电报的时刻。 宇航员起飞时天体上的K钟并未与地球上的K钟对准，而是预先走了 t天=γ（t′+βx′/c）=γβx′/c=βx/c=O.8×8 l.y./c=6.4年。 （见图8－14a）运算时用到数据：t′=0，天体到地球的距离γx′=x＝8 l.y. 由于洛伦兹收缩，宇航员观测到自己的旅程长度为x′=x/γ=8 l.y.×0.6＝4.8l.y.，单程所需时间为t′=4.8 l.y./0.8c＝6年，即当他到达天体时K′钟指示6年。在此期间由于爱因斯坦延缓，K钟只走了t＝t′ 的K钟读数分别为3.6年和（6.4＋3.6）年=10年（见图8－14b）。 到达天体时宇航员立即迅速调头，相当于换乘K″系的飞船以同样的速率返航，这时他飞船上的K″钟仍然指示t″=6年的地方。对于K″系此刻地球上K钟的读数t地比当地K钟的读数t天=10年超前了6.4年（理由同前），即t地=（10＋6.4）年=16.4年（见图8－15a）。也就是说，在宇航员从K′换到K″系时，地球上的K钟一下子从3.6年跳到16.4年，突然增加了12.8年。 作与离去时同样的分析，可知在返程中K″钟走过6年，K″系观测到K钟走过3.6年。即当他返回地球时，t″＝（6＋6）年=12年，t天＝（10＋3.6）年=13.6年，t地=（16.4＋3.6）年=20年（见图8－15b）。回到地球宇航员发现同胞兄弟比自己老了8年。 （2）坐在宇宙飞船上的宇航员并不能即时地看到K钟的读数，他只能通过接收来自地球的无线电讯号间接地推算人间光阴的流逝。起初，当飞船离地球而去时，收贺年电报的周期拉得很长。这一方面是因为对于飞船来说K钟走得慢，另一方面是由于讯号源在退行。对于K系，相继发出两封电报的时间间隔Δt=1年，对于K′系Δt′=γΔt，同时在此期间飞船又走远了βΔt′光年。两个效果合起来，宇航员收报的间隔是（1+β）Δt′＝（1+β）γΔt＝（1 Phy8.Com 您的良师益友！ 高中物理吧（www.phy8.com） 全站精品资源免费开放下载！欢迎收藏访问！ ＋0.8）年/0.6=3年。按此计算，宇航员驶向天体的6年中只收到2001、2002年两封元旦贺电。 同理，宇航员在回程中收报的间隔是（1-β）Δt″＝（1-β）γΔt=（1－0.8）年/0.6＝1/3年，6年里收到从2003到2020年发出的18封元旦贺电。 我们把宇航员和地面上收到对方新年贺电的时刻列在下表中，而对地面收报情况的具体分析，留给读者自己去讨论。 表8-1 地球上的发报时间t和飞船上的收报时间t′或t″ 表8-2 飞船上的发报时间t′或t″和地球上的收报时间t 5.2速度的合成 现在我们来讨论这样一个问题：如果一个质点在K系的速度是v＝（vx，vy，vz），在K′系看来它的速度v′＝（vx′，vy′，vz′）是什么？注意到 取洛伦兹变换式（8.8）的微分： 最后一式又可写成 dt′＝γ（1－Vvx/c2）dt， 用它去除前三式，即得 Phy8.Com 您的良师益友！ 高中物理吧（www.phy8.com） 全站精品资源免费开放下载！欢迎收藏访问！ 这便是相对论的速度合成定理。我们从中看到，虽然垂直于运动方向的长度不变，但速度是变的，这是因为时间间隔变了。 易见，当V< vx′=vx－V，vy′＝vy，vz′＝vz. 这就是我们熟知的经典速度合成公式。 在v平行于x、x′轴的特殊情况下，vx＝v，vy=vz=0，速度合成公式（8.10）简化为 把上式里的V换为-V，带撇的量和不带撇的量对调，我们得到从K系到K′系的逆变换关系： 例题2 一艘以0.9c的速率离开地球的宇宙飞船，以相对于自己0.9c的速率向前发射一枚导弹，求该导弹相对于地球的速率。 解：以地面为K系，宇宙飞船为K′系，按速度合成公式（8.12），有 即导弹相对于地面的速率v仍小于c. 在（8.11）式中当v＝0时，v′=-V.这表明，K系本身在K′系中的速度是-V，这正是相对性原理所要求的倒逆性，而这种倒逆性我们前此在推导逆变换公式时已多次用过了。 我们在1.1节中以玩排球和超新星爆发为例披露了，若假定由运动物体发出的光的速度大于c会导致怎样令人困惑的结论。有了光速不变性，上述困惑自然解除。在（8.11）式中当v＝c时，不管V有多大， 为了精密验证这个结论，从50年代起许多高能物理学家反复测量了高速微观粒子发出的γ射线（一种波长极短的电磁波）的速率，发射粒子的能量从几百个MeV（1MeV＝106eV）到几个GeV（1GeV＝10eV），在很高的精度下（≈10）验证了，它们发出γ射线相对于实验室参考系的速率确实等于c. 1 这样解4个方程立即得到γ＝ 和洛仑兹变换： 2v1-2 c Σ’系→Σ系 x=γ(x’+vt’) Phy8.Com 您的良师益友！ 9 -4 Σ系→Σ’系 x’=γ(x - vt)