第11章 流体力学
11.3流体运动学描述 1）流体运动分类
流体流动的分类有许多种，这里介绍经常遇到的几种。
理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把流体看成是无粘滞性、不可压缩的理想模型，因此理想流体的流动过程是无能耗 的可逆过程。稳定流动；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流动称为稳定流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不随时间变化。
例如在稳定流动时，如果流体内某点的速度是沿x轴方向，其量值为3cm/s，则在流体以后的流动中该点的流速永远保持这个方向与量值。若用v、?、T分别表示流体内部速度、密度以
?v???T???0?t?t及温度的分布，则稳定流动时满足?t。反之若流体内任一点的速度不满足
?v?0?t就说流动不是稳定的，例如变速水泵喷出的水流就是如此。
均匀流动：流体流动过程中如果任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相同，不随空间
?v?0位置的变化就称流动是均匀的。用公式表示可写成?l，其中 l表示沿任意方向求导数。
反之，若某一时刻流体内部各点的速度不全相同的流动称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管的流动是稳定的均匀流动，而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定的非均匀流动，流体加速通过一喇叭形长管的流动是不稳定的非均匀流动。
层流与湍流；在流体流动过程中如果流体内的所有微粒均在各自的层面上作定向运动就叫做层流。由于各流动层之间的速度不一样，所以各流动层之间存在阻碍相对运动的内摩擦，这个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律。层流在低粘滞性，高速度及大流量的情况下是不稳定的，它会使各流动层之间的微粒发生大量的交换从而完全破坏流动层，使流体内的微粒运动变得不规则，这种现象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动层的力），引起更多的能量损耗。
有旋流动：在流体的某一区域内，如果所有微粒都绕着某一转轴作旋转就称流体是作有旋流动。最直观的有旋流动是涡流，但不是仅仅只有涡流才是有旋流动，物理上判断流体是否作有旋流动是用所谓的环量来刻画的。设想在流体内
取一任意的闭合回路C，将流速v沿此回路的线积分定义为环量?，用公式表示就是
175
第11章 流体力学
?c??v?dl??vcos?dlcc。
流体内部环量不为零的流动叫做有旋流动，环量处处为零的流动称为无旋流动。按照上面的定义，层流也是有旋流动，参见图10.3.0。 2)流线与流管
研究流体的运动，可以观察流体内微粒经过空间各点时的流速。一般情况下，流体内各点的速度是随时间和空间位置变化的，因此流体内各点的速度分布是时间与空间的函数，即
v = v ( x, y, z, t )。
物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，所以流体内各点流速分布就可以看成速度场。描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电力线，磁场中引入磁力线一样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定的，流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向，图10.3.1（a）给出了几种常见的流线。
一般情况下空间各点的流速随时间t变化，因此流线也是随时间变化的。由于流线分布与一定的瞬时相对应
（参见图10.3.1（c）），所以在一般情况下，流线并不代表流体中微粒运动的轨道，只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的行迹。另外，由于流线的切线表示流体内微粒运动的方向，所以流线永远不会相交，因为如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒
经过该点时同时具有两个不同的速度，这当然是不可能的。
如果在流体内部取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所围成的细管 就称为流管，如图10.3.1（b）所示。由于流线不会相交，因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度，也就是说流管内部的流体不能流到流管外面，流管外的流体也不能流入流管内。 3)流量
流体力学中用流量来描述流体流动的快慢，工业上也称流量为排泄量。设想在流体内部截取
176
第11章 流体力学
一个面A，定义单位时间内通过截面A流体的体积为通过截面A的（体积）流量。如图10.3.2.所示，在流体内部取一小面元dA通过它的边界作一流管，在流管上截取长度为流速v的一段体积，由于单位时间内该体积内的流体会全部通过面元dA，所以通过面元dA的流量就是dQ = vcos? dA。如果把面元定义为矢量，取其外法线方向为面元的正方向即dA=dAn, 那么通过面元dA的流量可以表示成dQ=v﹒dA，而通过整个截面A的流量就可以表示成更简洁的形式
Q??dQ??vcos?dA??v?dAAAA。
177
第11章 流体力学
11.4 流体力学基本方程 1）一般方程
在流体内沿流管截取一小流体元，设在t时刻小流体元占有体积为V，边界为S。 按照它的体形在速度场中选取一假想体积，使得在t时刻假想体积与截取流体元 的体积完全一致如图10.4.1（a）所示。图中虚线表示实际的流体元，实线表示 假想的体积。流体会流动，其体积与假想体积之间会发生相对运动变成图 10.4.1.(b)所示的情况。流体元的一部分会穿出假想体积元的边界，而周围的流 体会流入假想的体积元，使假想体积内有流体流入也有流体流出。
设N是流体元所携带的某种物理量的总量，它可以是质量、动量，或者是能量。?是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是N的密度。我们
来考查流体流动时，物理量N随时间的变化规律。注意到在t+?t时刻流体元占据的体积是II+Ⅳ，而在t时刻占据的体积是I或Ⅱ+Ⅲ，因此在t到t+?t时间内流体元所携带物理量N的变化量
Nt??t?Nt?[??dV???dV]t?dt?[??dV]tIIIVI。
在上式右侧加上零因子
重新组合，然后除以dt得
[??dV]t??t?[??dV]t??tIIIIII
??dN???????????????dV?????dV??/dt?????dV?????dV??/dtdt??I?t?dt?I?t??t??t??t??t?III??IV 。
上式的第一部分
???????????dV?????dV??/dt???dV?tI?t?dt?I?t? ??I，
是单位时间内假想体积内流体所携带N量的变化率。第二部分的第一、二项分 别为
[??dV]t?dtIV
dt??流出边界?vdA,?[??dV]t?dtIIIdt???流入边界??vdA，
表示单位时间内流入流出假象边界的物理量N，它们可以用密度?对流量的 积分给出。
选择假想体积边界面的外法线为正方向，如图10.4.2，上两式合起来就是
178
第11章 流体力学
?假象边界?v?dA。 将上面的结果代回方程得到
dN???假想体积?dv??假想边界??v?dAdt?t。
上式说明流体元的某个物理量N随时间的变化可以化为假想体积内流体的物理
量N随时间的变化，即等于假想体积内N对时间的变化率（偏导数）加上从该体 积边界流入N量的净增加值。这是流体动力学的一个普遍规律，由此可以推出流 体动力学的几个重要方程。
2）连续性方程
若考查流体流动过程中质量变化规律，取N=m，这时
???。由于流体流动过程中质量
dm?0不变dt，一般方程式化为
??假想体积?dV??假想边界?v?dA?0 ?t。
这就是流体力学的连续性方程（积分形式），它是以质量守恒出发得到的，其意义为在一个假想体积中，流体的质量随时间的变化等于单位时间从其边界流入该体积的净质量。利用体积分化为面积分的公式
V 连续性方程可化为
??(?v)dV???v?dAS，
????dV???(?v)dV?0V V?t，
???[??(?v)]dV?0V?t。
????(?v)?0?t
即
由于dV ? 0，所以只能
3）能量方程
上式就是连续性方程的微分形式，它对流体内任一点都成立。
179