第11章 流体力学
由于流体内部存在粘滞性，在流动过程中受到粘滞阻力的作用流体的能量会减少。为了计算一维稳定层流过程中能量的损耗，在流体内沿流动层取长为dx,高为dy单位宽度的薄片状流体元作为研究对象，如图10.6.3所示。假定流体元沿着x方向流动其速度为u ，距地面高度为h。如前所述，该流体元受到沿x轴前后两个面的压力，重力，以及上下两面的粘滞
阻力，我们可用功能原理分析流体元稳定流动过程中的能量损耗。按照前面的讨论作用在流体元上前后两个面上压力差是
dp?dxdydx，
该压力差对流体元输入的功率为
dp?u?dxdydx，
因此压力差对单位体积的流体做的功率为
dw1dp??udx 。 dt 流体元的势能变化（重力做功负值）也容易求得，若流体元相对于零势能面的 高度变化为dh，那么重力对流体元做功-gdv.dh。而重力对单位体积流体做功的功率
dw2dhdhdxdh??????????udtdxdtdx 。 dt 粘滞力对流体元做功情况稍稍复杂一点，因为流体元上下两个面的相对流速不一样，因此上下两面的相对位移不同必须分开讨论。可以证明，粘滞力对单位体积的流体元做功的功率为
dw3dud????udydy， dt 上式证明留给读者自行完成。
由于流动是稳定的流速不变因而动能不变，按照功能原理，上述三种力做功 之和就是流体的能量损耗。结合上面三式就可得到
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第11章 流体力学
损耗功率
dud?dhdp???u??u?u单位体积dydydxdx 。
dudu2????()单位体积dydy。
利用稳定层流的动力学方程化简上式最后三项就是
耗散功率
容易看出，层流过程中流体内部能量损失与各流动层之间的速度梯度有很大关系。上式就是稳定层流过程中沿着任意流动层所取流体元的功率密度损失计算式，只要对各流动层积分就可以得到总的损失功率。例如在平面稳定层流条件下，假定流线的长度为L，层流平面的高度为a(见图10.6.1)，则单位宽度层流所损耗的功率是
adu21dL??()dy??L?[?(p??h)(2y?a)]2dydy002?dLa
4）泊肃叶方程
a3Ld?[(p??h)]212?dL?
将半径为a 的圆管水平放置使流体在管内作稳定层流，这时管内流体的速度分布由下式确定
r2dAu?(p??h)?lnr?B4?dl? 。
对水平放置的管h=0, A也必定为零，因为在管中央处（r=0）流速要有限。此时的边界条件为r=a（管的半径）时u=0, 由边界条件容易定出上面表达式中的
a2dpB??4?dl，
故水平管内的流体的速度分布
a2?r2dpu??4?dl 。
结果表明管内流体的速度分布是一旋转抛物线，如图10.6.6所示。管中心处 （r=0）层流的速度最大，其大小为
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第11章 流体力学
a2dpumax??4?dl。
由于速度分布是旋转抛物线型的，因此圆
管内流体的平均速度为最大值的一半
a2dpu??8?dl ，
管内的流量
?a4dpQ?u??a??8?dl。
2 若用管的长度L与直径D表示上式，就可写成容易用实验测量的形式
?p?D4Q?128?L ，
?pD2u?32?L 。
上面的第一个式子就是著名的泊肃叶粘滞性方程，由海根和泊肃叶分别独立地用实验进行了验证。泊肃叶公式与柏努利方程最明显的差别在于前者考虑了流体的粘滞性，认为流体在水平管内连续流动时，必须在该流体两端存在压力差，而按照柏努利方程，流体在水平管内稳定流动时(Dh=0)没有压力差流体照样能连续流动，相比较之下泊肃叶公式更接近实际流体。
5）雷诺数
当流体作稳定层流时，流体内大多数分子的定向运动基本上是在某个薄层状的平面内，流动层与相邻流动层之间只有少量的分子交换。各流动层之间的纵向力是导致层流不稳定的根本因素，它会引起相邻流动层之间的分子进行动量交换。当纵向力大到一定的程度时，各流动层之间的分子发生激烈交换，完全破坏层流发展成一种无规则的流体运动??湍流。如何判定流体内部出现的是层流还是湍流呢？雷诺在18世纪提出了在什么情况下，两种不同然而类似的流体有相似的动力学方程，通过研究两种几何形状完全相同的不同流体的流动，雷诺指出要使描述这些流体流动的动力学方程完全相同，其条件是这两种流体的一个无量纲的参数(ulr)/m必须相同。这里 u是流体的特征速度、l是流动的特征长度、
?是流体的密度、?192
第11章 流体力学
是粘滞系数、这个数被称为雷诺数R
ul?R??。
雷诺数给出了各种流体之间出现相似动力学规律的判据，它是相似性原理在流体力学中的体现。当一种流体的流动在某种条件会发生湍流，如果另一种流体在相同的条件下与这种流体的雷诺数相同，则另一种流体流动时也会发生湍流。为了确定无量纲数的大小，雷诺设计了一个所图10.6.7所示
的实验。将一长为L的玻璃管水平放置其一端与一个大水桶相连，另一端接上一开关。玻璃管的入口处呈喇叭状，它与一个装满染料的喷嘴相连，可以看到玻璃管内任何一点流体的流动情况。雷诺取染料的平均速率为特征速度，玻璃管的直径为特征长度，于是
VD?R??。
当开关开的很小时流体的流动很慢，可以看到染料的流动呈直线状，这表明流体的流动是稳定的层流。随着开关的逐渐开大，染料的流动出现上下摆动，这时染料的流动已变为非稳定的了。将开关进一步开大，染料速度V及D增大到一定的程度时，染料扩散到整个玻璃管中，湍流出现了。这就是从层流变成湍流的图像，雷诺测得在出现湍流之前雷诺数R=2000。后来的研究工作进行了更仔细的测定，他们将水先放上几天让它完全静止，同时造一个相对水完全静止的环境再进行测量，得到的结果是R=4000。这个数叫做管流雷诺数的上临界数，对实际情况来说上临界值没有什么实际意义，因为管内流体在雷诺数>2000时就出现湍流了。
雷诺在实验中还发现，载流管内一旦出现湍流欲使它重新回到层流，则只有当R小于2000时流体才能完全恢复到层流，这个数就叫管流雷诺数的下临界数。这个数非常重要，它对不规则装置有重要意义，实验测得在各种不规则管内流动从层流过渡到湍流前的雷诺数在2000-4000这一范围内。层流的能耗正比与流体的平均速度，而湍流的能耗正比平均速度的1.7到2.0次方。
雷诺数的重要意义是它提供了一个用一种流体的实验结果来预言另一种流体在同样条件下可能会发生结果的科学方法。另外，由于湍流出现是依赖系统的参数，它同时也是一种无规则运动，所以近来有人认为湍流也是一种混沌现象，不过湍流问题在流体力学中还没有得到圆满的解决。
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第11章 流体力学
11.7 流体对固体的作用力 1)粘滞阻力、斯托克斯公式
当物体在流体中以速度v运动时，通常把物体本身为参照系，这时流体以速度 ?v相对物体流动，如果流体的速度不大可将其视为稳定流动。物体表面的流动层叫做附面层，它粘附在物体的外表面相对物体静止，该层外侧的流动层相对物体的流速不为零，这样物体周围流动层之间存在速度差使得这些流动层之间有湿摩擦，这个摩擦力就是前面讲的粘滞力。当物体在流体中运动时，附面层上的粘滞力会阻碍物体相对流体的运动，这个阻力就叫做粘滞阻力。一般而言，物体在流体中运动时所受到的粘滞力大小与物体的形状有关而且理论推导非常复杂，这里我们直接给出英国数学家、物理学家斯托克斯在1851年研究球形物体在流体中运动时所受到的粘滞阻力的计算公式
F?6?rv?，式r中为球体的半径，v为球体的运动速
度，?是流体的粘滞系数。应当注意，计算球形物体在流体中受到的阻力时仅在雷诺数很小时（小于1）的情况下上式才是主要的，也就是说斯托克斯公式适用于小物体在粘滞性大的流体 内缓慢运动的情况，例如水滴在空气中下落过程中受到空气的阻力、血细胞在血浆中下沉过程中受到血浆的阻力等等都可用斯托克斯公式计算。 2）压差阻力
随着了雷诺数的增加，斯托克斯公式已不能正确地描述物体受到的阻力，为什么？我们以圆柱形物体相对流体运动为例加以说明，如图10.7.1所示，当雷诺数小于1时，圆柱体正前方A点及后侧B点流速为零，这些点为驻点，
物体周围的流线始终贴着圆柱体的表面不与之分离，这时圆柱体前后两端的压强相同，受到的阻力仅仅只有粘滞阻力。当雷诺数增加到10?30，圆柱体前端还是驻点，此处的流速仍
为零。由于靠近圆柱体表面的流体受附面层的影响较大流动缓慢，而远离附面层的流体受附面层的影响较小流动快，这样靠近附面层的流体还没有到达圆柱体的后侧，外层的流体已抢先到达并且回旋过来补充由于内层流体未到达所留下的空间，从而形成一对对称的涡流，如图10.7.2所示，这时圆柱体后侧不再是驻点。雷诺数大约在40左右，涡流开始摆脱圆柱体漂向下流，圆柱体后又不断的有新的涡流产生，于是在圆柱体后面出现交替逝去的涡流，形成所谓的“卡门涡街”（参见图10.7.3），这时流体的流动已经从稳定流动变为非定流动，水流过桥墩后留下的尾迹就是一个直观的“卡门涡街”
例子．当雷诺数达数百时会出现湍流，此时的流动已经是三维的了。 例丑．
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