第11章 流体力学
如果我们讨论流体的能量变化，可取N=E，此时???e，式中e为单位质量流体 的能量。由一般方程式得
dE???假想体积?edV??假想边界?ev?dAdt?t
，
上式就是流体内部能量满足的方程。它表示流体能量随时间的变化可由假想体积内流体能量随时间的变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定。 4）动量方程
如果我们讨论的是流体动量如何随时间变化，可取N=P，此时???v。将此关 系代入一般方程可得流体力学的动量方程
dp???假想体积?v?dV??假想边界?v(v?dA)?t dt。
其意义为流体的动量随时间的变化率等于假想体积内流体的动量随时间的变化加上从假想体积边界流入该体积中的净动量。 5）方程的应用
i)作为连续性方程的应用，考虑在流管中稳定流动的流体。由于流动是稳定的，流线的位置不随时间变化，沿流管截取一假想体积如图10.4.3所示，该体积由流管的边界与上、下两
???0个面1和2包围。对稳定流动?t，这时连续性方程退化成
?v?dA?0?假想边界 。
这表明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净质量为零，由于管内外的流体均不能穿过管壁，所以流体只能通过下截面1流入，上截面2流出。这意味着从截面1流入的流体质量必定等于通过截面2流出假想体积的质量，
即
S1??1v1dA1???2v2dA2S2 。
如果用??1及??2分别表示截面1与截面2处的平均密
度，用Q1、Q2表示通过截面1与截面2的流量，上式可以表示成更方便的形式
?Q1???2Q2， ?1180
第11章 流体力学
对于不可压缩的流体
?1??2，
上式退化为 Q1=Q2 。
结果表明，不可压缩的流体在流动时，沿流管的任意截面上流量均相同，它是质量守恒的必然结果。
ii)作为动量方程的应用，考虑在一弯管中稳定流动的流体，如图10.4.4所示。沿载流管截取一假想体积，该体积由载流管内边界与1、2两个截面包围，
???0同样地，对稳定流动有?t且任意一点流速v=常量，因此
动
量
方
程
退
化
成
dp??假想边界?v(v?dA)dt。
由于在载流管的边界处流速v垂直于载流管的内表面，所以上式中对假象体积的外表面积分实际上退化为对1、2两个截面的面积分
S1dp???1v1(v1?dA)???2v2(v2?dA)dtS1S2 ??1v1?v1?dA??2v2?v2?dAS2
???1v1Q1??2v2Q2
这里的?1、?2、v1、v2是1、2两个截面上的平均密度与平均速度。如果流体是不 可压缩的且流动过程中质量守恒，这时?1=?2=?，Q1=Q2= Q，结果简化成
dp??Q(v2?v1)dt。
从图10.4.4看出，流体在载流管内动量的改变是由于管壁施加给流体作用力的缘故，其大小与方向由上式决定，因此由牛顿第三定律可以得到结论：流体对载流管的作用力也由上式决定，但作用力的方向相反。
181
第11章 流体力学
11.5 理想流体的流动 1）沿一条流线的欧拉方程
先来介绍流体力学中一个十分重要的方程??欧拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无粘滞性的流体稳定流动时，取流体内一根流线S，如图10.5.1所示。沿流线截取一横截面为dA，长为ds的一小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个截面上的正压力（以流线的方向为参照方向）
??
?(p2?p1)dA???p?p?dAds??dv?s?s，
力的方向沿着流线的切向。这段流体元还受到重力的作用，其大小为?mg = ?gdv ,方向竖直向下。设重力与流线之间的夹角为?，则重力沿着流线切线方向的投影为（见图10.5.1）
?z?gcos?dv???gdv?s。
对所取的流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是
?p?z?dv??gdv??adv?s ?s ，
式中a为流体元沿流线切向的加速度。将?g用比重?表示，并消除上式中dv得到
?p?z?????a?s?s。(1)
式中的切向加速度a可改写成
dv?v?s?v?v?va?????v?dt?s?t?t?s?t，
把上面的式子代回前面的式子(1)就可以得到
1?p?z?v?v?g?v??0??s?s?s?t，
?v?0 这就是沿一条流线的欧拉方程。 对于稳定流动?t ，欧拉方程退化成
1?p?z?v?g?v?0??s?s?s 。
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第11章 流体力学
由于此时只有一个变量（空间变量s），上式中的偏微分可用全微分代替，去掉微分公因子ds后得
dp?gdz?vdv?0 ?。
2）柏努利方程
无粘滞性的流体稳定流动时，沿任何一条流线必定满足上式。对理想流体，由于不可压缩上式中的密度?是常数。将上式沿流线积分，注意此时密度?为常量就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程
p12?gz?v?常数2 ?。
上式就是著名的柏努利方程，式中的积分常数也称柏努利数，它是随着不同流线 而变化的。式中每一项的量纲都是单位质量的能量[M2S-2]。若将上式除以g，每项就成为单位重量的能量，即
pv2?z??常数2g ?。
对液体来说，用上式比较方便。若用?g乘上式就得到
12p??gz??v?常数2 ，
该式用于气体显得方便一些，因为对气体来说高度z的变化往往是不很重要的，在精度要求不很高的情况可将其略去，这样方程显得简单。
现在来说明一下柏努利方程中各项的物理意义。第一项P/?是单位质量流体流动时对外做的功或者流功，也就是单位质量流体对周围环境所做的功。为了弄清这一点可参见图10.5.2装置，一个由叶片构成的涡轮放置在水槽下端的出水口处，当水流动时液体会对涡轮施加一个力矩使涡轮旋转。作用在叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面积dA，若再乘以压力作用中心到涡轮转轴的距离r，就是作用在涡轮转轴上的力矩。假定叶片在dt时间内转过d?角度，则力矩对涡轮做功
dw?Nd??PdAr?d?PdAd。s
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式中ds是压力中心位移的大小，将上式除以d t时间内流出液体的总质量?dAds，就是单位质
第11章 流体力学
量的液体对涡轮所作的功
pdA?dsp??dA?ds? 。
第二项gz是单位质量流体的势能。因为质量为?m的流体在重力场中提高z高 度时重
力所做的功是??mgz，这时流体的势能增加了?mgz，所以单位质量流体的势能就是gz。 v2/2项是单位质量流体的动能。因为质量为?m的流体以速度v运动时它具有动能是?mv2/2，故单位质量流体的动能为v2/2。从上面的分析可以知道，柏努利方程实际上是理想流体沿着流线运动时的能量方程。
关于柏努利方程的应用应注意下面几点，a)当所有的流线都源于同一流体库，且能量处处相同，这时柏努利方程中的常数不会因流线不同而有所不同。这时对所有的流线来说柏努力数都相同，此时柏努力方程不限于对一条流线的应用。b）在通风系统中的气流，若压强变化相对无气流时变化不大，这时气体可以看成不可压缩的，柏努利方程仍可适用，不过气流的密度应取平均密度。c)对渐变条件下的非稳定流动，也可用柏努利方程求解，这时引起的误差不会很大。d)对于实际流体的稳定流动，可先忽略流体的粘滞性，用柏努利方程得到一个理想的结果，然后再用实验作一些修正，也就是说要加入能量损耗项。
例题，水正沿着如附图所示的管内流动，管上端的直径为2米，管内流速为3米/秒。管下端的直径为1米，管内流速为10米/秒。假定流体可视为理想流体，沿着流线压强不变，求管的上端相对地面的落差。
解：沿管的中心取一条流线，按柏努利方程在流线的两端1、2处
2v1p1v2p??z1?2?2?z22g?2g? ，
由已知P1=P2所以
(z1?z2)?122(v2?v1)2g。
设管上端与地面的落差为y，显然 y=z1?z2?0.5，由此得到
y?
122(v2?v1)?0.52g。
将v1=3米/秒，v2=10米/秒代入上式，解得y=3.64米。
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