补充例1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为?，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2?，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4?，求?的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。 生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中， AC=BC=30， AD=DC=103，
?ADC =180?-4?， ?103=
sin2?30 。
sin(180??4?) 因为 sin4?=2sin2?cos2?
? cos2?=
3,得 2?=30? 2? ?=15?，
?在Rt?ADE中，AE=ADsin60?=15
答：所求角?为15?，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 Rt?ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15
?在 Rt?ACE中,tan2?=?2?=30?,?=15?
h103?x=
3 3 答：所求角?为15?，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
?BAC=?， ?CAD=2?，
AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt?ACE中，sin2?=在Rt?ADE中，sin4?=
x --------- ① 304103, --------- ②
②?① 得 cos2?=
3,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15 2答：所求角?为15?，建筑物高度为15m
补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45?相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。 解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
?ACB=75?+45?=120?
?(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2?9?10xcos120? 93?化简得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
216所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
353BCsin120?15又因为sin?BAC === ?2AB1421??BAC =38?13?,或?BAC =141?47?（钝角不合题意，舍去）， ?38?13?+45?=83?13?
答：巡逻艇应该沿北偏东83?13?方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业
2、我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
第7课时 课题: §2.2
解三角形应用举例
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 ●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 ●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和
角表示？ 生：ha=bsinC=csinB
hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA
1ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
22师：根据以前学过的三角形面积公式S=
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的
面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解]
例7、在?ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?; （2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S= S=
1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2) 2b sinB(2)根据正弦定理，
=
c sinC c = bsinC
sinBS =
11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?
sin65.8?sin51.5?12 S = ?3.16?≈4.0(cm2) ?sin62.72(3)根据余弦定理的推论，得
c2?a2?b2cosB =
2ca38.72?41.42?27.32 =
2?38.7?41.4 ≈0.7697 sinB =
1?cos2B≈1?0.76972≈0.6384
应用S=S ≈
1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2) 2例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c2?a2?b2cosB=
2ca1272?682?882 =≈0.7532
2?127?68sinB=1?0.75322?0.6578
1acsinB 21 S ≈?68?127?0.6578≈2840.38(m2)
2应用S=
答：这个区域的面积是2840.38m2。 例3、在?ABC中，求证：
a2?b2sin2A?sin2B?; （1）22csinC（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
a = b = c = k
sinAsinBsinC显然 k?0，所以
a2?b2k2sin2A?k2sin2B? 左边= 222cksinCsin2A?sin2B ==右边
sin2C