第四章 荷载效应
构件或结构上的作用使构件或结构产生的内力（如轴力、剪力、扭矩、弯矩等）、变形、裂缝等统称作用效应或荷载效应。荷载与荷载效应之间通常按某种关系相联系。本章重点学习构件和结构在荷载作用下产生的各种内力和变形，进行单种材料杆件的承载能力分析。
第一节 构件内力分析
一、概述
1.1变形固体及其基本假设 1.1.1变形固体
工程中构件和零件都是由固体材料制成，如铸铁、钢、木材、混凝土等。这些固体材料在外力作用下都会或多或少的产生变形，我们将这些固体材料称为变形固体。
变形固体在外力作用上会产生两种不同性质的变形：一种是当外力消除时，变形也随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，变形不能全部消失而留有残余，这种不能消失的残余变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，既有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，在所受外力不超过一定范围时，塑性变形很小，可忽略不计，认为材料只产生弹性变形而不产生塑性变形。这种只有弹性变形的物体称为理想弹性体。只产生弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书将只限于给出材料在弹性范围内的变形、内力及应力等计算方法和计算公式。
工程中大多数构件在外力作用下产生变形后，其几何尺寸的改变量与构件原始尺寸相比，常是极其微小的，我们称这类变形为小变形。材料力学研究的内容将限于小变形范围。由于变形很微小，我们在研究构件的平衡问题时，就可采用构件变形前的原始尺寸进行计算。 1.1.2变形固体的基本假设
为了使计算简便，在材料力学的研究中，对变形固体作了如下的基本假设：
(1)均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内豪无空隙地充满了物质。而且各点处材料的力学性能完全相同。
(2)各向同性假设假设材料在各个方向具有相同的力学性能。
常用的工程材料如钢材、玻璃等都可认为是各向同性材料。如果材料沿各个方向具有不同的力学性能，则称为各向异性材料。
综上所述，建筑力学中所研究的构件，是由均匀连续、各向同性的变形固体材料制成的构件，且限于小变形范围。
1.2杆件变形的基本形式 1.2.1杆件
建筑力学中主要研究的构件是杆件。所谓杆件，是指长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆件的几何特点可由横截面和轴线来描述。横截面是与杆长方向垂直的截面，而轴线是各截面形心的连线(图4-1)。杆各截面相同、且轴线为直线的杆，称为等截面直杆。 图4-1 1.2.2杆件变形的基本形式
杆件在不同形式的外力作用下，将发生不同形式的变形。但杆件变形的基本形式有以下四种：
(1)轴向拉伸和压缩(图4-2a、图4-2b)在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线相重合的外力作用下，杆件将发生长度的改变(伸长或缩短)。
(2)剪切(图4-2c)在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生错动。
(3)扭转(图4-2d)在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的任意两横截面将绕轴线发生相对转动。
(4)弯曲(图4-2e) 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆件的轴线由直线弯成曲线。
图4-2
工程实际中的杆件，可能同时承受不同形式的外力而发生复杂的变形，但都可以看作是上述基本变形的组合。由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。
在以下几节中，将分别讨论上述各种基本变形和组合变形。 1.3内力和内力分析方法——截面法 1.3.1内力的概念
在第一章对某一物体进行受力分析时，常将该物体作为研究对象单独分离，画出该物体的受力图。物体所受到的力全部是研究对象(该物体)以外的其他物体对它的作用力，称为外力。而在本章讨论杆件的强度、刚度、稳定性问题时，需要通过作用在杆件上的外力进一步分析杆件内部的破坏及变形规律。因此，只研究作用在杆件上的外力就不够了，还需讨论另一种力，即杆件的内力。
当杆件受到外力作用后，杆件内部相邻各质点间的相对位置就要发生变化，这种相对位置的变化使整个杆件产生变形，并使杆件内各质点之间原来的(受外力作用之前的)相互作用力发生改变，各质点之间相互作用力的变化使杆件相连两部分之间原有的相互作用力也发生了改变。在研究建筑力学问题时，习惯上将这种由于外力的作用而使杆件相连两部分之间相互作用力产生的改变量称为附加内力，简称为内力。
内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时变形也越大。如我们用双手拉一根橡胶绳，首先会发现橡胶绳也在拉我们的手，这是因为当我们用手拉橡胶绳时，对橡胶绳施加了一对大小相等、方向相反的拉力，这一对拉力对橡胶绳而言是作用在它上面的外力，由于这种外力的作用，使橡胶绳内任意相邻的两部分之间会产生内力，即橡胶绳拉手的力；其次还会发现手拉橡胶绳的力越大，橡胶绳对手的拉力也越大，绳子的变形也越大。但是内力的增大不是无限度的，内力达到某一限度(这一限度与杆件的材料、几何尺寸等因素有关)时，杆件就会破坏。由此可知：内力与杆件的强度、刚度等有着密切的关系。讨论杆件强度、刚度和稳定性问题，必须先求出杆件的内力。
1.3.2求内力的基本方法——截面法
为了计算杆件的内力，需要先用一个假想的平面将杆件“截开”，使杆件在被切开位置处的内力显示出来，然后取杆件的任一部分作为研究对象，利用这部分的平衡条件求出杆件在被切开处的内力，这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。不管杆件产生何种变形，都可以用截面法求出内力。
下面以轴向拉伸杆件为例，介绍截面法求内力的基本方法和步骤。 图4-3a所示为杆件受到一对轴向拉力作用产生轴向拉伸的情况。现在我们来计算杆上任一截面(如距左端为l／3处横截面)上的内力。计算内力的步骤如下：
(1)截开用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。 (2)代替取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用。
如对于左段而言，截开处原右段对它作用的内力此时已变成左段上的外力而暴露了出来。由于固体是连续的，所以截面上的内力是连续分布的，我们称这种内力为分布内力(图4-3b)。本课程所讲的内力是这些分布内力的合力。因此，画受力图时在被截开的截面处，只画分布内力的合力即可，(图4-3c)。
(3)平衡由于整体杆件原本处于平衡状态(图4-3a)，因此被截开后的任一部分也应处于平衡状态。对于研究部分(图4-3c)根据作用在该部分上的力系情况，建立平衡方程，从而可求出截面上的内力。如对图4-3c中的杆段，列平衡方程∑Fx=0，得Fp=FN；这说明该横截面上的内力大小等于FN，方向如图4-3c所示。
若取截面的右段同样可求得Fp=FN，如图4-3d所示。 图4-3 1.4平面图形的几何性质
在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数w，和极惯性矩，，等都与构件的强度和刚度有关。以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。 1.4.1重心和形心 1.4.1.1重心的概念
地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力。由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。
1.4.1.2一般物体重心的坐标公式 1.4.1.2.1一般物体重心的坐标公式
如图4-4所示，为确定物体重心的位置，将它分割成以个微小块，各微小块重力分别为G1、G2、??Gn，其作用点的坐标分别为(x1、y1、z1，)、(x2、y2、z2)?(xn、yn、zn)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G=ΣGi：，其作用点的坐标为C(xc、yc、zc)。对Y轴应用合力矩定理，有：
得
同理，对x轴取矩可得：
将物体连同坐标转90。而使坐标面oxz成为水平面，再对z轴应用合力矩定理，可得：
因此，一般物体的重心坐标的公式为：
(4—1) 图4-4 1.4.1.2.2均质物体重心的坐标公式
对均质物体用r表示单位体积的重力，体积为V，则物体的重力G=Vr，微小体积为Ⅵ，微小体积重力Gi=Vi·y，代入式(4—1)，得均质物体的重心坐标公式为：
(4—2) 由上式可知，均质物体的重心与重力无关。所以，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。对均质物体来说重心和形心是重合的。
1.4.1.2.3均质薄板的重心(形心)坐标公式
对于均质等厚的薄平板，如图4-5所示取对称面为坐标面oyz，用δ表示其厚度，Ai表示微体积的面积，将微体积Vi=δ·Ai及V=δ·A代人式(4—2)，得重心(形心)坐标公式为：
(4—3) 因每一微小部分的xi为零，所以xi=0。 1.4.1.2.4平面图形的形心计算
形心就是物体的几何中心。因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，图4-5 则形心一定在对称轴或对称中心上。如图4-6所示。若平面图形是一个组合平面图形，
则可先将其分割为若干个简单图形，然后可按式(4—3)求得其形心的坐标，这时公式中的Ai为所分割的简
单图形的面积，而yi、zic为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。另外，有些组合图形，可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将挖去的面积用负面积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。
图4-6
【例4-l】试求图4-7所示T形截面的形心坐标。
【解】将平面图形分割为两个矩形，如图4-7所示，每个矩形的面积及形心坐标为：
由式(8—3)可求得T形截面的形心坐标为：
【例4-2】试求图4-8所示阴影部分平面图形的形心坐标。
【解】将平面图形分割为两个圆，如图8-5所示，每个圆的面积及形心坐标为
由式(4-3)可求得阴影部分平面图形的形心坐标为：
图4-7 图4-8 1.4.2静 矩 1.4.2.1定义
图4-9所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)乘积的总和，称为该平面图形对z轴(或Y轴)的静矩，用Sz(或Sy)表示，即：
(4—4)
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由上式可知，静矩为代数量，它可为正，可为负，也可为零。常用单位为 m或mm。
图4-9 图4-10
1.4.2.2简单图形的静矩
图4-10所示简单平面图形的面积A与其形心坐标Yc(或zc)的乘积，称为简单图形对z轴或Y轴的静矩，即：
(4—5)
当坐标轴通过截面图形的形心时，其静矩为零；反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。
1.4.2.3组合平面图形静矩的计算
(4—6)
式中A——各简单图形的面积；
Yci、zci——各简单图形的形心坐标。
式(4-6)表明：组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和。 【例4-3】计算图4-11所示T形截面对z轴的静矩。 【解】将T形截面分为两个矩形，其面积分别为：
截面对z轴的静矩
图4-11
1.4.3惯性矩、惯性积、惯性半径
1.4.3.1惯性矩、惯性积、惯性半径的定义 1.4.3.1.1惯性矩
图4-12所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标Y(或z)平方乘积的总和．称为该平面图形对z轴(或Y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即：
(4—7)
图4-12