式(4-7)表明，惯性矩恒为正值。常用单位为m或mm。 1.4.3.1.2惯性积
图4-12所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标z、Y乘积的总和，称为该平面图形对z、Y两轴的惯性积，用Izy表示，即：
(4—8) 44
惯性积可为正，可为负，也可为零。常用单位为m或mm。可以证明，在两正交坐标轴中，只要z、Y轴之一为平面图形的对称轴，则平面图形对z、Y轴的惯性积就一定等于零。 1.4.3.1.3惯性半径
在工程中为了计算方便，将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即：
44
(4—9)
式中iz、iy——平面图形对z、Y轴的惯性半径，常用单位为m或mm。 1.4.3.1.4．简单图形(图4-13)的惯性矩及惯性半径
(1)简单图形对形心轴的惯性矩(由式4—7积分可得) 矩形 圆形
环形
型钢的惯性矩可直接由型钢表查得，见附录二。
图4-13
(2)简单图形的惯性半径 矩形 圆形
1.4.3.2平行移轴公式
1.4.3.2.1惯性矩的平行移轴公式
同一平面图形对不同坐标轴的惯性矩是不相同的，但它们之间存在着一定的关系。现给出图4-14所示平面
图形对两个相平行的坐标轴的惯性矩之间的关系。
(4—10)
式(4-10)称为惯性矩的平行移轴公式。它表明平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩再加上其面积与两轴间距离平方的乘积。在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩为最小。 1.4.3.2.2．组合截面惯性矩的计算
组合图形对某轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯性矩之和。 【例4-4】计算图4-15所示T形截面对形心z轴的惯性矩Izc。 【解】(1)求截面相对底边的形心坐标
(2)求截面对形心轴的惯性矩
图4-14 图4-15
【例4-5】试计算图4-16所示由两根N020槽钢组成的截面对形心轴z、Y的惯性矩。
【解】组合截面有两根对称轴，形心C就在这两对称轴的交点。由型钢表查得每根槽钢的形心C1或C2到腹板边缘的距离为19.5mm，每根槽钢截面积为：
每根槽钢对本身形心轴的惯性矩为：
整个截面对形心轴的惯性矩应等于两根槽钢对形心轴的惯性轴之和，故得：
图4-16
1.4.4形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念
若截面对某坐标轴的惯性积Izoyo=0，则这对坐标轴z、、yo称为截面的主惯性轴，简称主轴。截面对主轴
的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩。通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主惯矩。
凡通过截面形心，且包含有一定对称轴的一对相互垂直的坐标轴一定是型心主轴。 二、构件内力计算
2.1轴向拉伸和压缩时的内力 2.1.1轴向拉伸和压缩的概念
沿杆件轴线作用一对大小相等、方向相反的外力，杆件将发生轴向伸长(或缩短)变形，这种变形称为轴向拉伸(或压缩)(图4-17 a、b)。产生轴向拉伸或压缩的杠件称为拉杆或压杆。
（a） (b) 图4-16 工程结构中，拉杆和压杆是常见的。如图4-17所示的三角支架中，杆AB是拉杆，杆BC是压杆。又如图4-18所示的屋架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。
图4-17 图4-18
2.1.2轴向拉压杆的内力——轴力
2.1.2.1轴向拉伸和压缩时杆件的内力——轴力
如图4-19(a)所示为一等截面直杆受轴向外力作用，产生轴向拉伸变形。现用截面法分析m-m截面上的内力。用假想的横截面将杆在m—m截面处截开分为左、右两部分，取左部分为研究对象如图4-19(b)所示，左右两段杆在横截面上相互作用的内力是一个分布力系，其合力为N。由于整个杆件是处于平衡状态，所以左段杆也应保持平衡，由平衡条件ΣX=0可知，m—m横截面上分布内力的合力N必然是一个与杆轴相重合的内力，且N===F，其指向背
离截面。同理，若取右段为研究对象如图4-19(c)所示，可得出相同的结果。
对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面上的内力N，但其指向为 图4-19 指向截面。
我们将作用线与杆件轴线相重合的内力，称为轴力，用符号N表示。背离截面的轴力，称为拉力；而指向截面的轴力，称为压力。 2.1.2.2轴力的正负号规定
轴向拉力为正号，轴向压力为负号。在求轴力时，通常将轴力假设为拉力方向，这样由平衡条件求出结果的正负号，就可直接代表轴力本身的正负号。
轴力的单位为N或kN。 2.1.2.3轴力图
当杆件受到多于两个轴向外力的作用时，在杆件的不同横截面上轴力不尽相同。我们将表明沿杆长各个横截面上轴力变化规律的图形，称为轴力图。以平行于杆轴线的横坐标轴z表示各横截面位置，以垂直于杆轴线的纵坐标N表示各横截面上轴力的大小，将各截面上的轴力按一定比例画在坐标系中并连线，就得到轴力图。画轴力
图时，将正的轴力画在轴线上方，负的轴力画在轴线下方。
【例4-6】一直杆受轴向外力作用如图4-20(a)所示，试用截面法求各段杆的轴力。 【解】(1)用截面法求各段杆横截面上的轴力
AB段取1—1截面左部分杆件为研究对象，其受力如图4-20(a)所示，由平衡条件 得
BC段取2—2截面左部分杆件为研究对象，其受力如图4-20 (c)所示，由平衡条件,得
CD段取3—3截面右部分杆为研究对象，其受力如图4-20(d)所示，由平衡条件,得
(2)画轴力图
根据上面求出各段杆轴力的大小及其正负号画出轴力图，如图4-20(e)所示：
【例4-7】试画出图4-21(a)所示阶梯柱的轴力图，已知F=40kN。
【解】(1)求各段柱的轴力
图4-20
(2)画轴力图
根据上面求出各段柱的轴力画出阶梯柱的轴力图，如图4-21(b)所示。
值得注意的是：①在采用截面法之前，外力不能沿其作用线移动。因为将外力移动后就改变了杆件的变形性质，内力也就随之改变。②轴力图、受力图应与原图各截面对齐。当杆水平放置时，正值应画在与杆件轴线平行的横坐标轴的上方，而负值则画在下方，并必须标出正号或负号，如图4-20所示；当杆件竖直放置时正、负值可分别画在杆轴线两侧并标出正号或负号。轴力图上必须标明横截面的轴力值、图
图4-21 名及其单位，还应适当地画一些与杆件轴线垂直的直线。当熟练时，可以不画
各段杆的受力图，直接画出轴力图，横坐标轴z和纵坐标轴N也可以省略不画，如图4-21(b)所示。
从前面的几个例题的计算中我们会发现：截面上的轴力与所研究的杆段上的外力之间存在一种关系，即轴力等于所取杆段（左段或右段）上外力的代数和。在计算轴力时，外力的方向背离截面（引起拉力）取正号，外力的方向指向截面（引起压力）取负号。用这种规律求轴力可以省去列平衡方程，使计算简化。 2.2扭转内力 2.2.1扭转的概念
扭转变形是杆件基本变形之一。在垂直杆件轴线的两平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。大多数受扭的杆件其横截面为圆形，受扭的圆截面杆称为圆轴。圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动。其中杆件任意两截面间相对转动的角度称为扭
图4-22 转角，用ψ表示。如图4-22中的ψ角就是曰截面相对A截面的扭转角。
图4-23 图4-24
在工程中，以扭转变形为主的杆件是很多的。如汽车转向盘的操纵杆(图4-23)、搅拌器的主轴(图4-24)、钻探机的钻杆和机械的传动轴等。 2.2.2圆轴扭转时横截面上的内力 2.2.2.1外力偶矩的计算
作用于轴上的外力偶，有时在工程中并不是已知的，常常是已知轴所传递的功率和轴的转速，再由下式求出外力偶矩，即
(4—11) 式中，P为轴传递的功率(kW)；n为轴的转速(r／min)；M。为轴上的外力偶矩(N·m)。 若功率的单位为马力，则外力矩的计算公式为
2.2.2.2扭矩
圆轴横截面上的内力仍通过截面法来进行分析。下面以图4-25（a）所示两端承受外力偶矩Me作用的圆轴为例，来说明求任意横截面m—m上内力的方法。用假想截面沿截面m-m将轴截开，任取一段(如左段)，如图4-25（b）所示。由于圆轴AB是平衡的，因此截取部分也处于平衡状态，根据力偶的性质，横截面m-m上必有一个内力偶矩与外力偶矩肘。平衡，我们把这个内力偶矩称为扭矩，用T表示，单位为N·m或kN·m。由平衡条件得
(4—12)
若取右段为研究对象，如图4-25（c）所示，由平衡条件得
与取左段为研究对象结果相同。
以上结果说明，计算某截面上的扭矩，无论取该截面左侧还是
右侧为研究对象，求出的扭矩大小都相等且转向相反，它们是作用与反作用的关系。 为了使从截面左、右两侧求得同一截面的扭矩不但数值相等，而且有同样的正负号，用右手螺旋法则规定扭矩的正负号。即以右手四指表示扭矩的转向，若大拇指的指向与横截面的外法线n指向一致时，扭矩为正(图9．5a)；反之，扭矩为负(图9—5b)。当横截面上扭矩的实际转向未知时，一般先假设扭矩为正。若求得结果为正，表示扭矩实际转向与假设相同；若求得结果为负，则表示扭矩实际转向与假设相反。
图4-25 图4-26