解 (1)求支座反力。对简支梁和外伸梁必须求支座反力。以B点为矩心，列力矩平衡方程。
由∑MB=0得
由∑Fy=0得
(2)求1-1截面上的剪力和弯矩。取1-1截面的左侧梁段为隔离体，作该段的受力图(图4-43b)。由平衡方程
(3)求2-2截面上的剪力和弯矩。取2-2截面的左侧梁段为隔离体，作该段的受力图(图4-43c)。由平衡方程
图4-43
(4)求3-3截面的剪力和弯矩。取3-3截面的右段为隔离体，作该段的受力图(图4-43d)。由平衡方程
(5)求4-4截面的剪力和弯矩。取4-4截面的右段为隔离体，作该段的受力图(图4-43e)。由平衡方程
对比1-1、2-2截面上的内力会发现：在A偏左及偏右截面上的剪力不同。而弯矩相同，左、右两侧剪力相差的数值正好等于A截面处集中力的大小。我们称这种现象为剪力发生了突变；对比3-3、4-4截面上的内力会发现：在D偏左及偏右截面上的剪力相同，而弯矩不同，左、右两侧弯矩相差的数值正好等于D截面处集中力偶的大小，我们称这种现象为弯矩发生了突变。
截面法是求内力的基本方法，利用截面法求内力时应注意以下几点：
1)用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 2)作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。这样能够把计算结果的正、负号和剪力、弯矩的正负号相统一，即计算结果的正负号就表示内力的正负号。
3)在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。
4)在集中力作用处，剪力发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而弯矩在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个弯矩即可；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的弯矩，而剪力在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个剪力即可。
2.3.2.4直接用外力计算截面上的剪力和弯矩
通过对用截面法计算梁的内力进行分析，我们可以发现：截面上的内力和该截面一侧外力之间存在一种关系(规律)，因此，通常可以利用规律直接根据截面的任一侧梁上的外力来求出该截面上的剪力和弯矩，省去作梁段的受力图和列平衡方程，使计算内力的过程简单化，我们称这种方法为直接用外力计算截面上的剪力和弯矩，简称用规律求剪力和弯矩。
2.3.2.4.1用外力直接求截面上剪力的规律 梁内任一截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧(左侧或右侧)梁段上所有外力在平行于剪力方向投影的代数和(由∑Fy=0的平衡方程移项而来)。用式子可表示为
根据对剪力正负号的规定可知：在左侧梁段上所有向上的外力会在截面上产生正剪力，而所有向下的外力会在截面上产生负剪力；在右侧梁段上所有向下的外力会在截面上产生正剪力，而所有向上的外力会在截面上产生负剪力。即：左上右下正，反之负。由于力偶在任何坐标轴上的投影都等于零，因此作用在梁上的力偶对剪力没有影响。
2.3.2.4.2用外力直接求截面上弯矩的规律
梁内任一截面上的弯矩肘，等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力对该截面形心取力矩的代数和(由∑Mc=0的平衡方程移项而来)。
用式子可表示为
根据对弯矩正负号的规定可知：在左侧梁段上的外力(包括外力偶)对截面形心的力矩为顺时针时，在截面上产生正弯矩，为逆时针时在截面上产生负弯矩；在右侧梁段上的外力(包括外力偶)对截面形心的力矩为逆时针时，在截面上产生正弯矩，为顺时针时在截面上产生负弯矩，即：左顺右逆正，反之负。
例4-12 求图4-44所示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。已知：M=8kN·m，q=2kN／m。 解 (1)求支座反力。取梁AB为隔离体，假设支座反力FAy向下、FBy向上。由平衡方程
图4-44
(2)求1-1截面上的剪力和弯矩。从1-1位置处将梁截开后，取该截面的左侧为隔离体。作用在左侧梁段上
L
的外力有：力偶M，支座反力FAy，由FQ=∑F。及左上剪力正，反之负的规律可知
由M=∑Mc(F)及左顺弯矩正的规律可知
(3)求2-2截面上的剪力和弯矩。从2-2位置处将梁截开后，取该截面的右侧为隔离体。作用在右侧梁段上
L
的外力有：均布荷载q，支座反力F毋，由FQ=∑F及右下剪力正的规律可知
L
由M=∑Mc(F)及右逆弯矩正，反之负的规律可知
(4)求3-3截面上的剪力和弯矩。从3-3位置处将梁截开后，取该截面的右侧为隔离体。作用在右侧梁段上
R
的外力有：均布荷载q，支座反力FBy，由FQ=∑F及右下剪力正，反之负的规律可知
由M=∑Mc(F)及右逆弯矩正，反之负的规律可知
当然在计算1-1截面的剪力和弯矩时也可以取该截面右侧计算，在求2-2、3-3截面的剪力和弯矩时也可以取该截面左侧计算，请读者自己练习。
例4-13 求图4-45所示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。已知：M=6kN·m，q=1kN／m，FP=3kN。
RL
图4-45
解 (1)求支座反力。由平衡方程
检验：
说明支座反力计算
正确。
(2)求1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。从要求剪力和弯矩的截面位置处将梁截开后，取该截面的左侧为隔离
LL
体。由FQ=∑F及左上剪力正、M=∑Mc(F)及左顺弯矩正的规律可知
(3)求3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。从要求剪力和弯矩的截面位置处将梁截开后，取该截面的右侧为隔离
RR
体。由FQ=∑F及右下剪力正、M=∑Mc(F)及右逆弯矩正的规律可知
显然，用“规律”直接计算剪力和弯矩比较简捷，所以，实际计算时经常使用。 2.3.3梁的内力图
由上节各例题可知：通常情况下，梁上不同截面上的剪力和弯矩值是不同的，即梁的内力(剪力和弯矩)随梁横截面的位置而变化。对梁进行强度和刚度计算时，除了要计算指定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力值所在的位置。所以，本节要讨论梁的内力图，以便形象地了解内力在全梁范围内的变化规律。为今后学习强度和刚度以及学习后续课程奠定基础。 2.3.3.1剪力方程和弯矩方程
梁横截面上的剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。若横截面沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩就都可以表示为坐标y的函数，即
以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
通过梁的剪力方程和弯矩方程，可以找到剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。
在建立剪力方程、弯矩方程时，剪力、弯矩仍然可使用截面法或用“规律”直接由外力计算。如图4-46a所示的悬臂梁，当将坐标原点假定在左端点A上时(图4-46b)，在距离原点为x的位置处取一截面，并取该截面的左侧
图4-46 研究，直接用外力的规律可写出方程。 剪力方程为
弯矩方程为
式中括号内表示z值的取值范围，即方程的适用范围。
R
可见，当x=0时表示该悬臂梁A偏右截面上的剪力FQB=一FP及A截面上的弯矩MA=0；当x=l时表示B偏左
RL
截面上的内力FQB=一FP、MB=FPl。 2.3.3.2剪力图和弯矩图
为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。 2.3.3.2.1作剪力图和弯矩图最基本的方法
作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。
绘图时，以平行于梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置，以垂直于x轴的纵坐标(按适当的比例) 表示相应横截面上的剪力或弯矩。在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作在x轴的上方，负剪力作在x轴的下方，并标明正、负号；正弯矩作在x轴的下方，负弯矩作在x轴的上方，即弯矩图总是作在梁受拉的一侧。对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。
例4-14 作图4-47a所示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。 解 因为图示梁为悬臂梁，所以可以不求支座反力。
(1)列剪力方程和弯矩方程。将坐标原点假定在左端点A处，并取距A端为x的截面左侧研究。
剪力方程为
弯矩方程为
(2)作剪力图和弯矩图。剪力方程为x的常函数，所以不论x取何值剪力恒等于-FP，剪力图为一条与x轴平行的直线，而且在z轴的下方。剪力图如图4-47b所示。
弯矩方程为z的一次函数，所以弯矩图为一条斜直线。由于不论z取何值弯矩均为负值，所以弯矩图应作在x轴的上方。
图4-47
作弯矩图如图4-47c所示。
与作杆件的轴力图、扭矩图类似，在作出的剪力图上要标出控制截面的内力值、剪力的正负号，作出垂直于x轴的细直线；而弯矩图比较特殊，由于弯矩图总是作在梁受拉的一侧，因此可以不标正负号，其他要求同剪力图。
例4-15 作图4-48a所示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。 解 (1)求支座反力。取整体梁为隔离体，由平衡方程
图4-48
(2)列剪力方程和弯矩方程。经过观察注意到：该梁在C截面上作用一个集中力，使AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不同，因此列方程时要将梁从C截面处分成两段。
Ac段：在AC段上距A端为z1的任意截面处将梁截开，取左段研究，根据左段上的外力直接列方程
CB段：在CB段上距B端为x2的任意截面处将梁截开，取右段研究，根据右段上的外力直接列方程
(3)作剪力图和弯矩图。根据剪力方程和弯
矩方程判断剪力图和弯矩图的形状，确定控制截面的个数及内力值，作图。
剪力图：AC段和CB段的剪力方程均是x的常函数，所以AC段、CB段的剪力图都是与z轴平行的直线，每段上只需要计算一个控制截面的剪力值。
AC段：剪力值为，图形在x轴的上方。 CB段：剪力值为
图形在z轴的下方。
弯矩图：AC段和CB段的弯矩方程均是x的一次函数，所以AC段、CB段的弯矩图都是一条斜直线，每段上需要分别计算两个控制截面的弯矩值。
AC段：
将
及
两点连线即可以作出AC段的弯矩图。
CB段： 将
及
两点连线即可以作出CB段的弯矩图。
作出的剪力图、弯矩图如图4-48b、C所示。
注意：应将内力图与梁的计算简图对齐。在写出图名(FQ图、M图)、控制截面内力值、标明内力正、负号的情况下，可以不作出坐标轴。习惯上作图时常用这种方法。
由弯矩图可知：简支梁上只有一个集中力作用时。在集中力作用处弯矩出现最大值，好作用在梁的跨中，即
时。弯矩的最大值为
。
；若集中力正
这个结论在今后学习叠加法时经常用到，要特别注意。