例4-8 如图4-27（a）所示，一传动系统的主轴，其转速n=960r／min，输入功率PA=27．5kW，输出功率P。：20kW，PB=7．5kW。试求指定截面1-1、2-2上的扭矩。
解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得
同理可得
(2)计算扭矩。用截面法分别计算截面1-l、2-2上的扭矩。 截面l-1：
假想地沿截面1-1处将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面l-1上的扭矩为T1，且为正方向(图4-27b)，由平衡条件得
图4-27 负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。 截面2-2：
假想沿截面2-2将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面2-2上的扭矩为疋，且为正方向(图4-27c)，由平衡条件得
负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。
若以截面2-2右段为研究对象(图4-27d)，同理，由平衡条件
得
所得结果与取左段为研究对象的结果相同，计算却比较简单。所以计算某截面上的扭矩时。应取受力比较简单的一段为研究对象。
由上面的计算结果不难看出：受扭杆件任一横截面上扭矩的大小。等于此截面一侧(左或右)所有外力偶矩的代数和。
2.2.2.3扭矩图
当轴上同时作用两个以上的外力偶时，横截面上的扭矩随截面位置的不同而变化。反映轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化的图形称为扭矩图。根据扭矩图可以确定最大扭矩值及其所在截面的位置。
扭矩图的绘制方法与轴力图相似。需先以轴线为横轴z、以扭矩r为纵轴，建立卜z坐标系，然后将各截面上的扭矩标在卜z坐标系中，正扭矩在x轴上方，负扭矩在x轴下方。
下面通过例题说明扭矩图绘制的方法和步骤。
例4-9 传动轴如图4-28a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、 C、D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，轴的转速n=300 r／min。试作出该轴的扭矩图。
解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得
同理可得
(2)计算扭矩。根据作用在轴上的外力偶，将轴分成鲋、AC和CD三段．用截面法分别计算各段轴的扭矩，如图4-28b、c、d所示。
(3)作扭矩图。建立T-x坐标系．x轴沿轴线方向，T向上为正。将轴各横截面上的扭矩标在T-x坐标中。由于BA段各横截面上扭矩均为-0.95 kN·m，故扭矩图为平行于x轴的直线，且位于z轴下方；而AC段、CB段各横截面上扭矩分别为2.87kN·m和1.59kN·m，故扭矩图均为平行于x轴的直线，且位于x轴上方，于是得到如图4-28e所示的扭矩图。
从扭矩图可以看出，在集中力偶作用处，其左右截面扭矩不同，此处发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小：最大扭矩发生在AC段内，且Tmax=2.87kN·m。
讨论 对同一根轴来说，若把主动轮A与从动轮B对调，即把主动轮布置于轴的左端(图4-29a)，则得到该轴的扭矩图(图4-29b)。这时轴的最大扭矩发生在AB段内，且Tmax=3.82kN·m。
比较图4-28e和图4-29b可见，传动轴上主动轮和从动轮布置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也随之改变。轴的强度和刚度都与最大扭矩值有关。因此．在布置轮子位置时，要尽可能降低轴内的最大扭矩值。显然图4-28布局比较合理．
图4-28
2.3弯曲内力
图4-29 2.3.1平面弯曲的概念
2.3.1.1弯曲和平面弯曲 2.3.1.1.1弯曲
在工程中我们经常遇到这样一些情况：杆件所受的外力的作用线是垂直于杆轴线的平衡力系(或在纵向平面内作用外力偶)。在这些外力作用下，杆的轴线由直线变成曲线(图4-30)，图中虚线表示梁在外力作用下变形后的轴线)。这种变形称为弯曲。凡是以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。
梁是工程中一种常用的杆件，尤其是在建筑工程中，它占有特别重要的地位。如房屋 建筑中常用于支承楼板的梁(图4-31)，阳台的挑梁(图4-32)，门窗过梁(图4-33)，厂 房中的吊车梁(图4-34)，粱式桥的主梁(图4-35)等等。
图4-30
图4-31
图4-33
图4-36
图4-35
2.3.1.1.2平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽形等(图4-36)，它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面(图4-37)。当作用于梁上的力(包括主动力和约束反力)全部都在梁的同一纵向对称平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，我们把这种力的作用平面与梁的变形平面相重合的弯曲称为平面弯曲。图4-37中的梁就产生了平面弯曲。
平面弯曲是弯曲问题中最常见，而且最简单的弯曲。本章只对平面弯曲变形进行分析和讨论。 2.3.1.2梁的类型
工程中通常根据梁的支座反力能否用静力平衡方程全部求出，将梁分为静定梁和超静定梁两类。凡是通过静力平衡方程就能够求出全部约束反力和内力的梁，统称为静定梁。静定梁又根据其跨数分为单跨静定梁和多跨静定
梁两类，单跨静定梁是本章的研究对象。通常根据支座情况将单跨静定梁分为三种基本形式。
(1)悬臂梁一端为固定端支座，另一端为自由端的梁(图4-38a)
(2)简支梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁(图4-38b) (3)外伸梁梁身的一端或两端伸出支座的简支梁(图4-38c、d)
图4-34
图4-32 图4-37
图4-38 第二节 构件承载力分析
2.3.2梁的内力
在求出梁的支座反力后，为了计算梁的应力和位移，从而对梁进行强度和刚度计算，需要首先研究梁的内力。 2.3.2.1梁的内力——剪力和弯矩
梁在产生平面弯曲时将会产生哪些内力呢?下面我们仍用求内力的基本方法——截面法来讨论梁的内力。
现以图4-39a所示的简支梁为例来分析。设荷载FP和支座反力FAy 、FBy均作用在同一纵向对称平面内，组成的平面力系使梁处于平衡状态，欲计算截面1-1上的内力。
用一个假想的平面将该梁从要求内力的位置1—1处切开，使梁分成左右两段，由于原来梁处于平衡状态，所以被切开后它的左段或右段也处于平衡状态，可以任取一段为隔离体。现取左段研究。在左段梁上向上的支座反力FAy有使梁段向上移动的可能，为了维持平衡，首先要保证该段在竖直方向不发生移动，于是左段在切开的截面上必定存在与FAy，大小相等、方向相反的内力FQ但是，内力FQ只能保证左段梁不移动，还不能
保证左段梁不转动，因为支座反力FAy，对1-1截面形心有一个顺时针方向的力矩FAyx， 图4-39 这个力矩使该段有顺时针方向转动的趋势。为了保证左段梁不发生转动，在切开的1-1
截面上还必定存在一个与FAyx力矩大小相等、转向相反的内力偶M(图4-39b)。这样在1-1截面上同时有了FQ和M才使梁段处于平衡状态。可见，产生平面弯曲的梁在其横截面上有两个内力：其一是与横截面相切的内力FQ，称为剪力；其二是在纵向对称平面内的内力偶，其力偶矩为M，称为弯矩。
截面1-1上的剪力和弯矩值可由左段梁的平衡条件求得。 由得
将力矩方程的矩心选在截面1-1的形心C点处，剪力FQ将通过矩心。
由
得
以上左段梁在截面1-1上的剪力和弯矩，实际上是右段梁对左段梁的作用。根据作用力与反作用力原理可知，右段梁在截面1-1上的FQ、M与左段梁在1-1截面上的FQ、M应大小相等、方向(或转向)相反(图4-39c)。若对右段梁列平衡方程进行求解，求出的FQ及M也必然如此，请读者自己验证。 2.3.2.2剪力和弯矩的正负号规定
由上述分析可知：分别取左、右梁段所求出的同一截面上的内力数值虽然相等，但方向(或转向)却正好相反，为了使根据两段梁的平衡条件求得的同一截面(如1—1截面)上的剪力和弯矩具有相同的正、负号，这里对剪力和弯矩的正负号作如下规定。
2.3.2.2.1剪力的正负号规定
当截面上的剪力FQ使所研究的梁段有顺时针方向转动趋时，剪力为正(图4-40a)；有逆时针方向转动趋势时剪力为负(图4-40b)。 2.3.2.2.2弯矩的正负号规定
当截面上的弯矩肘使所研究的水平梁段产生向下凸的变形时(即该梁段的下部受拉，上部受压)弯矩为正(图ll一12a)；产生向上凸的变形时(即该梁段的上部受拉，下部受压)弯矩为负(图11—12b)。
2.3.2.3用截面法求指定截面上的剪力和弯矩
用截面法求梁指定截面上的剪力和弯矩时的步骤如下： 1)求支座反力。
2)用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。
3)取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。
下面举例说明如何用截面法求梁指定截面上的内力——剪力和弯矩。
例4-10试用截面法求图4-42a所示悬臂梁1-l、2-2截面上的剪力和弯矩。 已知：q=15kN／m，F，=30kN。图中截面1-1无限接近于截面A，但在A的右侧，通常称为A偏右截面。
解 图示梁为悬臂梁，由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算内力时可以不求其支座反力。但在不求支座反力的情况下，不能取有支座的梁段计算。
(1)求1-1截面的剪力和弯矩。用假想的截面将梁从1-1位置截开，取1-1截面的右侧为隔离体，作该段的受力图(图4-42b)，图中1-1截面上的剪力和弯矩都按照正方向假定，由平衡方程∑Fy=0得
计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力为正值。
由∑M1=0得
图4-40 图4-41 图4-42
计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反，即1-1截面上的弯矩为负值。 (2)求2-2截面上的剪力和弯矩。用假想的截面将梁从2-2位置截开，取2-2截面的右侧为隔离体，作该段的受力图，如图4-42e所示。由平衡方程∑Fy=0，得
由∑M2=0得
例4-11 用截面法求图4-43a所示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。已知： Fp=100kN，a=1．5m，M=75kN·m，(图中截面1-l、2-2都无限接近于截面 A，但1-1在A左侧、2-2在A右侧，习惯称1-1为A偏左截面，2-2为A偏右截面；同样3-3、4-4分别称为D偏左及偏右截面)。