第一章 概率论的基本概念
[四] 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?求A，B，C至少有一个发生的概率。 解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C) = P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=
.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对” ∵ 从10只中任取4只，取法有??10??种，每种取法等可能。 ?4?11. P(AC)?,P(AB)?P(BC)?0，
84315 ??0?4885?4要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有????2
?4??P(A)?C5?2C10444?821813?2121
P(A)?1?P(A)?1?
[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?P(A)P(B|A)定义P(AB)1143??由已知条件?????有??P(B)?解：由P(A|B) P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)? [十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回
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抽样，求下列事件的概率。 （1）二只都是正品（记为事件A）
法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。
C8C2P(A)?210?2845?0.62
法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。
P(A)?A82A102?28 45
法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。
P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?810?79?2845
（2）二只都是次品（记为事件B）
C22法一： P(B)?C102?1 45法二： P(B)?A22A102?1 45法三：
P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211?? 10945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）
C8?C2C10211法一： P(C)??16 45 2
法二：
P(C)?(C8?C2)?A2A102112?16 45法三：
P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥
288216??? 10910945 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?（4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，
A9?A2A10211法二：
P(D)??1 5法三：
P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥
82211???? 1091095 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?[二十二] 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为
P（1）若至少有一2次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。 解：Ai={他第i次及格}，i=1,2
已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P
2（1）B={至少有一次及格} 所以B?{两次均不及格}?A1A2
∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)]
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?1?(1?P)(1?P2)?32P?12P
2（2）P(A1A2)定义P(A1A2)
P(A2) （*）
由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2
由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)
?P?P?(1?P)?P2
?PP?222
将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)?P22PP?22?2P P?1
.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。 解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S （1）P(B1)?A1A2=φ
1101182?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。 25023051109（2）P(B2|B1)?P(B1B2)P(B1)?25049?251181723029?0.4857
（先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解）
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第二章 随机变量及其分布
[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律 解：X可以取值3，4，5，分布律为
P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?1?C2C532?1101?C33C52 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??2310?610
P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?1?C4C53也可列为下表 X： 3， 4，5 P：
.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。
P(X?0)?C13C15133136,, 101010?22 352P(X?1)?C2?C13C15C2?C13C15321312? 35P P(X?2)??1 35再列为下表 X： 0， 1， 2 P：
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O 1 2 x 22121,, 353535