第三章 多维随机变量及其分布
.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：
??0,若第一次取出的是正品X????1,若第一次取出的是次品??0,若第二次取出的是正品Y????1,若第二次取出的是次品,?,?
试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或写成
X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=
101025?? 1212361025?? 1212362105?? 121236221?? 1212360 25 365 361 5 361 3610945?? 12116610210?? 12116621010?? 12116611
P {X=1, Y=1 }=或写成
X Y 0 1
.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。
X Y 0 1 2 0 0 0 1 35211 ??1211660 45 6610 661 10 661 661 0 6 356 352 3 3512 353 353 2 352 350 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=
C2C2C71422CCC16? P {X=1, Y=1 }=3242? 3535C71112P {X=1, Y=2 }=
C3C2C2C7242CC63? P {X=2, Y=0 }=342? 3535C7CC123? P {X=2, Y=2 }=342? 3535C7312222P {X=2, Y=1 }=
C3C2C2C73411P {X=3, Y=0 }=
C3C2C741CC22? P {X=3, Y=1 }=342? 3535C7P {X=3, Y=2 }=0
12
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4 [三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}
（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=??f(x,y)dxdy?G??G?Dof(x,y)dxdy再化为累次积分，其中
?0?x?2,???Do??(x,y)?
2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?1 8（2）P(X?1,Y?3)??10dx?3213(6?x?y)dy? 88（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)?
?1.50dx?4218(6?x?y)dy?2732
?20dx?4?x012 (6?x?y)dy?83y
[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?e?y,0?x?y?求边缘概率密度。 f(x,y)????0,其它.y x=y 解:fX(x)??????????y?xedy?e,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,? fY(y)?
???????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye0,?y,y?0,y?0,o
x 13
?cx2y,x2?y?1?[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=??????????f(x,y)dxdy??10dy???yycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?32145212?12124??2xydy?x(1?x),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?y ???Y~fY(y)??????yy214dydx?02725y20?y?1其它y=x2
o x [十六] 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
25 365 365 361 36在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况： P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=
10945?? 121166105? 126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=P {X=0}·P {Y=0} =
5525?? 66361092105???? 121111116P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0} ∴ X和Y不独立
14
第四章
[六] 设随机变量X的分布为 X Pk
求 E (X)， E (3X+5)
解：E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X+5) = 3E (X)+ E (5)= 8.4+5=13.4
[十] 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
?1?1x4?,x?0 f(x)??4e?0,x?0?2
22
－2 0.4
0 0.3
2 0.3
工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢 利的数学期望。
1解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X?1)?4?14?14?10e?14xdx??e?x410?1?e?14
故P(X?1)?1?P(X?1)?1?(1?e则
)?e.设Y表示出售一台设备的净赢利
?(?300?100)??200,(X?1) Y?f(X)??100,(X?1).??14故 E(Y)?(?200)?P(X?1)?100?P(X?1)??200?200e ?300e
15
?14?100e?14
?200?33.64
[二十一]（1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。设Y=2 X1－X2+3X3－
（2）设随机变量X，Y相互独立，且X～N（720，302），Y～N（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=X－Y的分布，并求P {X>Y }, P {X+Y>1400 } 解：（1）利用数学期望的性质2°，3°有 E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－利用数学方差的性质2°，3°有
D (Y )=2 D (X1 )+ (－1) D (X2 )+3 D (X3 )+(?2
2
2
1X4，求E (Y)，D (Y)。 21E (X4 )=7 212
) D (X4 )=37.25 2（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知 Z1～N（· ，·），Z2～N（· ，·）
而E Z1=2EX+Y=2×720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225 E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525 即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525） P {X>Y }= P {X－Y >0 }= P {Z2>0 }=1－P {Z2 ≤0 } =1?????0?80??80???????0.9798 ?1525???1525?P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } 同理X+Y～N（1360，1525）
则P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } =1????
?1400?1360???0.1539 ?1525?? 16