[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。
（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。 （3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，?
P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去} =()n?1?231， n=1，2，?? 3（2）Y的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=
1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} =
211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} =
(3)P{X?Y}?2!1? 3!33?P{Yk?13?k}P{X?Y|Y?k} ???k}P{X?Y|Y?k}??P{Yk?23?全概率公式并注意到?? ?P{X?Y|Y?1}?0????P{Yk?2?k}P{X?k}注意到X,Y独立即
? P{X?Y|Y?k}?P{X?k}
111?121?8??????27333?33??3?3同上，P{X?Y}?3?P{Yk?1?k}P{X?Y|Y?k}
11121419 ??????333932781 ??P{Yk?1?k}P{X?k}?故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?
6
3881
[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求 （1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率
（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率
（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率
解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，
由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349
22819（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C100.10.9?C100.10.9?0.581
（3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590 （4）P {0 ({0 = P {0 ?0,x?1,?18.[十七] 设随机变量X的分布函数为FX(x)??lnx,1?x?e,， ??1,x?e.求（1）P (X<2), P {0 P(2?X?5555?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln 2224?1?,1?x?e,（2）f(x)?F'(x)??x ??0,其它 7 22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度： ?1000?f(x)??x2??0x?1000其它 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为 P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000x21?dx?1??1000(?)x?15001000??? 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,2)，3214??151P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()?C5?()?()?33??3?1?1?5?235?1?11243?232243 [二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为： ?1?x5?FX(x)??5e,x?0 ??0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。 解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 P(X?10)????10fX1(x)dx?5???10e?x5dx??e?x5??10?e?2 ?2?2k?25?k因此Y~B(5,e).即P(Y?k)???e(1?e),(k?1,2,3,4,5 ?5??k?P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?1?0.86775?2)?1?(1?5155)?1?(1?0.1353363)7.389?1?0.4833?0.5167.8 .[二十三] 设X～N（3.2） （1）求P (2 β?μ??α?μ?∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α ?σ??σ?2 ∴ 5?3??2?3?P (2 ?2??2? =0.8413－0.3085=0.5328 P (－4 =0.9998－0.0002=0.9996 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) =1??2?3???????2???????2?3???2??? ? =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??3?3??2??=1－0.5=0.5 （2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) 得 P (X≤C )= 12=0.5 又 P (X≤C )=φ??C?3???0.5,查表可得C?3?2?2?0 32.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=eX 的概率密度 2∵ X的概率密度是f(x)?1e?x2,???x??? 2π Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： 9 ∴ C =3 (lny)??112?f[h(y)]?|h'(y)|?e?ψ(y)??y2π?0?20?y??? y为其他（2）求Y=2X+1的概率密度。 在这里，Y=2X+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X+1≤y) ???y?12?X?y?1?? 2??2 2 2 =P??当y<1时：FY ( y)=0 ?当y≥1时：Fy(y)?P????y?12?X?y?1???2??y?1??2y?1212πe?x22dx 故Y的分布密度ψ( y)是： 当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 y?1?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????1212?e?x22y?12?dx? ??? =e?y?142π(y?1) （3）求Y=| X |的概率密度。 ∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0 当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=?∴ Y的概率密度为： 当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 ?当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?????dx????y?y12πe?x22dx ?y?y12πe?x222eπ?y22 10