第9讲 双曲线、抛物线基本
量问题的典型考法
满分晋级
解析几何11级 双曲线、抛物线基本量问题的典型考法
解析几何10级 直线与椭圆的位置关系
解析几何12级 直线与双曲线、抛物线的位置关系
新课标剖析
当前形势
双曲线与抛物线在近五年北京卷(文)考查5～14分
内容
要求层次 A B C √ √
具体要求
高考 要求
双曲线的定义及标准方程 抛物线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质
由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质
由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线√
的标准方程探求几何性质
由双曲线的几何性质解决问题
√ 由抛物线的几何性质解决问题 2011年（新课标） 第10题5分
2013年（新课标）
第7题5分 第9题5分
北京 高考 解读
2009年 第19题14分
2010年（新课标） 第13题5分
第9讲·尖子-目标·教师版
1
9.1双曲线
考点1：双曲线及其标准方程
暑假知识回顾
1．双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|且不等于零）
的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程：
x2y2①2?2?1(a?0，0)，F2(c，0)，c2?a2?b2； b?0)，焦点坐标为F1(?c，ab2yx2②2?2?1(a?0，?c)，F2(0，c)，c2?a2?b2； b?0)，焦点坐标为F1(0，abx2y23．双曲线的几何性质（用标准方程2?2?1(a?0，： b?0)来研究）
ab⑴范围：x≥a或x≤?a；如图．
⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． ⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，A1，A2为顶点，线段A1A2为双曲线的实轴．在y轴上作点B1(0，?b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的虚轴．
b⑸渐近线：直线y??x；
ac⑹离心率：e?叫做双曲线的离心率，e?1．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
ayx=-aB2F1A1OB1A2F2x=aPMx
4．等轴双曲线与共轭双曲线：
⑴等轴双曲线：实轴长、虚轴长相等的双曲线． 焦点在x轴上，标准方程为x2?y2?a2(a?0)；
焦点在y轴上，标准方程为y2?x2?a2(a?0).
渐近线方程为y??x，离心率e?2. ⑵共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，共轭是相互的．
x2y2y2x2互为共轭双曲线2?2?1和2?2?1（a?0，b?0）有相同的渐近线，他们的四个焦点共圆，
abba 2
第9讲·尖子-目标·教师版
且它们的离心率e1、e2满足
11??1． e12e22x2y2练习1：⑴ 设P是双曲线2??1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x?2y?0，F1，F2分别
a9是双曲线的左、右焦点，若|PF1|?3，则|PF2|?（ ） A．1或5 B．6 C．7 D．9
x2y21?在C的渐近线上，则 ⑵（2012湖南理5）已知双曲线C:2?2?1的焦距为10，点P?2，abC的方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2A．??1 B．??1 C．??1 D．??1
20552080202080【解析】 ⑴ C
x2y233
双曲线2??1中，渐近线方程为3x?2y?0，∴?，a?2．
a9a2
22xy∴双曲线方程为??1．
49根据双曲线定义，||PF1|?|PF2||?2a?4，|PF1|?3，∴|PF2|?7． ⑵ A
x2y2b∵2?2?1的焦距为10，∴c?5?a2?b2 ①，又双曲线渐近线方程为y??x，且aba2bP?2，1?在渐近线上，∴?1，即a?2b ②，由①②解得a?25，b?5. a
经典精讲
<教师备案> 暑假时我们预习过双曲线的方程的求法，这里借助例1进行总结．
x2y2【例1】 ⑴与双曲线? ?1有相同的渐近线且过点A23，?3的双曲线方程是___________．
169x2y2⑵与双曲线?且经过点??5，2?的双曲线的标准方程是__________． ?1有相同焦点，
1620x2y2⑶与椭圆且经过点(32，2)的双曲线的标准方程是___________． ??1有公共焦点，
4936224yx【解析】 ⑴ ??1
94利用有相同渐近线的双曲线系去做．
??x2y2x2y2与双曲线??1有相同的渐近线的双曲线方程为???，
169169(?3)21???． 16942222xy14yx∴所求双曲线的方程为???，即??1．
16949422xy⑵ 设所求双曲线方程为??1（?20???16）
16??20??254∵双曲线过点??5，2?，???1，解得???4或???29（舍去）
16??20??
第9讲·尖子-目标·教师版
?将点A?23，?3?代入，得：??23?23
x2y2∴所求双曲线方程为??1．
2016x2y2⑶ 设所求双曲线方程为??1（36???49）
49??36??184∵双曲线过点(32，2)，?． +?1，???40或??23（舍去）
49??36??22xy∴所求双曲线方程为??1．
94x2y2【点评】几种特殊情况的标准方程的设法：①与双曲线2?2?1（a?0，b?0）有相同渐近线的双
abx2y2x2y2n曲线方程为2?2??（??0）②渐近线为y??x的双曲线方程为2?2??（??0）
abmnmx2y2x2y2③与双曲线2?2?1（a?0，b?0）有共同焦点的双曲线方程为2??1aba??b2??x2y222（?b???a）④与椭圆2?2?1（a?b?0）有共同焦点的双曲线方程为
ab22xy． ??1（b2???a2）22a??b??双曲线方程还有一个常见的设法，是已知双曲线上两个点，但没有其它信息时，可以统一设
Q(22，6)，求双曲线的方程为mx2?ny2?1(mn?0)，如已知双曲线上有两点P(6，43)，双曲线方程．就可以不讨论焦点位置，直接设为mx2?ny2?1(mn?0)，从而得到方程组1?m???36m?48n?1?4，解得，可以有效减少计算量． ??18m?6n?1??n???6?
提高班学案1
x2y2【拓1】⑴ 已知实数x，y满足2?2?1(a?0，b?0)，则下列不等式中恒成立的是( )
abbbb2bA．y?x B．y??x C．y??x D．y?xa2aaa
22xy⑵（2010朝阳一模理6）已知点P(3，?4)是双曲线2?2?1(a?0,b?0)渐近线上的一点，
abE，F是左、右两个焦点，若EP?FP?0，则双曲线方程为（ ） x2y2x2y2x2y2x2y2A．??1 B．??1 C．??1 D．??1
3443916169【解析】 ⑴ D
因为x均可取负值，排除A；由(?a,0)在双曲线上排除C；而双曲线的焦点在x轴上，
bb且渐近线为y??x知y?x成立，故D正确，B错误．
aa⑵ C
解法一：不妨设E??c,0?,F?c,0?，
于是有EP?FP??3?c,?4???3?c,?4??9?c2?16?0． 于是c2?25．排除A，B．
y3由D中双曲线的渐近线方程为y??x，点P不在其上．排除D．
4 EOPFx4
第9讲·尖子-目标·教师版
解法二：
如图，∵OE?OF，EP?FP?0，∴OP?OE?OF， 又∵P?3，?4?，∴OP?5，即c?5，后面同解法一．
尖子班学案1
x2y2【拓2】（2010浙江理8）设F1、F2分别为双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线
ab右支上存在点P，满足PF2?F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲
线的渐近线方程为（ ）
A．3x?4y?0 B．3x?5y?0 C．4x?3y?0 D．5x?4y?0
【解析】 C
据题意得|PF1|?2(2c)2?(2a)2?4b，又点P在双曲线的右支上，据双曲线的定义可得|PF1|?|PF2|?4b?2c?2a，整理得a?c?2b，又c2?a2?b2，故有a2?b2?(2b?a)2，整理
b44得3b?4a，即?，故双曲线的渐近线方程为y??x，即4x?3y?0．
3a3
考点2：双曲线的离心率求法
<教师备案> 双曲线的离心率决定双曲线的开口的开阔程度，如果一个双曲线方程是确定的，可以直接
求离心率，但大多数时候，双曲线的方程都是不确定的，只能通过所给的几何条件得到a与c的比值关系，进行得到离心率满足的方程，求得离心率．
经典精讲
【铺垫】双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，?F1MF2?120?，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．【解析】 B
663 C． D． 233x2y2设双曲线方程为2?2?1，△MF1F2为等腰三角形，?F1MF2?120?，∴?MF1F2?30?，
abb36b21c2?a21∴tan30???，即2?，∴，∴． e??c32c23c3
【例2】 ⑴
如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过A，B，D，E 四点，则该双曲线的离心率为______．
⑵（2010辽宁理9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（ ）
3?15?1A．2 B．3 C． D． 22x2y2⑶（2012湖北14）如图，双曲线2?2?1(a,b?0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，
ab两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，B2，
D．则双曲线的离心率e?______．
第9讲·尖子-目标·教师版
5