值，故P的纵坐标为?1．
<教师备案> 例8⑴是求抛物线上的点到一条直线的距离的最小值，可以直接设出抛物线上的点，通过
点到直接的距离公式计算，也可以求出抛物线与此直线相切的直线，切点即为所求，特别在学完导数之后，这个方向更常用．
例8⑵⑶是求抛物线（y2?2px）上的点到轴上一点的距离的最值，当轴上的点为焦点时，我们由抛物线的定义知，它到抛物线的顶点的距离最小，当此点不是焦点时，⑶的结论是一般性的，即当轴上的点在点(p，0)的左边时，距离最小的点都是顶点；当该点处在轴上点(p，0)的右边时，离它距离最小的点不再是顶点．
【例8】 ⑴
⑵
求抛物线y?4x2上一点，使这点到直线y?4x?5的距离最短．
?2?已知抛物线y2?2x，设点A的坐标为?，0?，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标
?3?及相应的距离|PA|．
⑶已知点P(a，0)满足：对于抛物线y2?4x上任意一点Q，都有PQ≥PO，则a的取值范围是_______．
【解析】 ⑴ 法一：设抛物线上一点(x，4x2)，
|4x?4x2?5|4?12这点到直线y?4x?5的距离d?2?1???4?x???42??172．
1?1?当x?时，函数y??4?x???4的最小值是4．
2?2?此时d有最小值法二：
417?1?1?． ，故所求点的坐标为?，17?2?设y?4x?m与抛物线相切，联立有4x2?4x?m?0的判别式??16?16m?0，故m??1，此一元二次方程的根为
1?1?1?． ，故所求点为?，2?2?22⑵ 设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
2?2?1?1???则|PA|??x???y2??x???2x??x???．
3?3?3?3???22∵x≥0且在此区间上函数单调递增，
2故当x?0时，|PA|min?，故距离A最近的点的坐标为(0，0)．
3⑶(??，2]； 法一：
当a?0时，以P为圆心，|a|??a为半径的圆与抛物线y2?4x相切于原点，故此时满足条件；a?0时，显然满足；当a?0时，要满足条件，需要圆(x?a)2?y2?a2与抛物线y2?4x相切或相离，即x2?2(2?a)x?0有且只有一个非负根，即0?a≤2． 2(a?2)≤0，
16 第9讲·尖子-目标·教师版
综上知：a?(??，2]． 法二：
设Q(x，y)，则有y2?4x，
PQ?(x?a)2?y2?x2?2(2?a)x?a2≥a2，即x(x?4?2a)≥0对所有的x≥0恒成立，
2即x≥2a?4对所有的x≥0恒成立，故2a?4≤0?a≤2，即a?(??，2]．
x2y2⑴ 已知F1、F2分别是双曲线2?2?1?a?0，b?0?的左、右焦点，P为双曲线左支上任意
ab2PF2一点，若的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是_____．
PF1π??⑵ 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且A设?D以A，AB??，???0,?，B?2AD．
2??B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为
e2，则（ ）
DCθAB
A．随着角度?的增大，e1增大，e1e2为定值
B．随着角度?的增大，e1减小，e1e2为定值 C．随着角度?的增大，e1增大，e1e2也增大
【解析】 ⑴?1，3?；
D．随着角度?的增大，e1减小，e1e2也减小
PF2PF12tc?a，PF2?t?2a，f?t??设PF1?t，≥??t?2a?t24a2?t??4a，
t当t??0，2a?时，f?t?为减函数，f?t??8a； 当t??2a，???时，f?t?为增函数，f?t?≥8a．
则由题意得c?a≤2a，c≤3a，e≤3，则e的范围是?1，3?． ⑵ B；
设AB?2AD?2．连结BD，
则BD?12?22?2?1?2cos??5?4cos??AC，CD?2?2cos?，
AB2e1?? …① DBD?AD5?4cos??1CD2?2cos?e2?? …②
θAD?AC1?5?4cos?一方面，由①知，e1随着?的增大而减小； 另一方面，①?②有e1e2?因此选B．
第9讲·尖子-目标·教师版
CAB2?2?2cos???5?4cos???1?4?4cos??1为定值．
4?4cos?17
实战演练
【演练1】 双曲线
xy??1的焦点到渐近线的距离为（ ） 412A．23 B．2 C．3 D．1
|43?0|?23． 222
【解析】 A
双曲线的焦点(4，0)到渐近线y?3x的距离为d?
2【演练2】如果P1，P2，…，P8是抛物线y?4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x8，F是
抛物线的焦点，若x1?x2?【解析】 18
根据抛物线的定义，可知PF?xi?i?P2F?∴PF1?P8F??x1?x2??P2F??x8?10，则PF1?P8F?_____．
p， 2，3，，8）?xi?1（i?1，2?x8??8?1?18．
x2y2【演练3】（2010东城二模6）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在
abAF15?，则双曲线的离心率等于（ ） 双曲线上，且AF2?x轴，若
AF23A．2 B．3 C．2 D．3 【解析】 A
AF1535|F1F2|2?4c2?|AF1|2?|AF2|2，结合?，可得|AF2|?c，|AF1|?c，
AF232253c于是2a?|AF1|?|AF2|?c?c?c??2，即双曲线的离心率为2．
22a
x2y2【演练4】双曲线??1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1?PF2，则点P到x轴的
916距离为_________． 16【解析】
5?FPF116设点P到x轴的距离为d，S△PF1F2?b2cot12?16??F1F2?d?5d，∴d?．
225
13?及焦点为F的抛物线y?x2，在抛物线上求一点M,使PM?FM最小．【演练5】已知点P??2，
81??【解析】 ??2，? y2??1P∵P在抛物线y?x2的内部（如图），
8FM M0OHP0xl18 第9讲·尖子-目标·教师版
又MF?MH（H为MH?l的垂足），
∴PM?FM?PM?MH≥PM0?M0P0?PP0?3???2??5，（其中M0为PP0与抛物线的交点），∴PM?FM的最小值为5．
【演练6】抛物线y??x2上的点到直线4x?3y?8?0的距离的最小值是____________．
4【解析】
3设抛物线上一点(x，?x2)，
|4x?3x2?8|4?322它到直线4x?3y?8?0的距离d?2?2?20??3?x???3?3?52．
2?202204?当x?时，函数y??3?x???的最小值是．此时d有最小值．
3?3333?
大千世界
x2y2已知点P是双曲线??1上的动点，F1,F2分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则
84|PF1|?|PF2|的取值范围是______．
|OP|【解析】 2，6??
不妨设P?x,y?∴
PF1?PF2OP???x?0?．于是有PF12ex1?ex?a,PF2?ex?a,OP?x2?y2．
y2?1??6?．而2??0,?， 222x?2?x?yy1?2x?2,6??．
于是
PF1?PF2OP?
第9讲·尖子-目标·教师版
19