?FAF?FAF3x2y2双曲线即?， ?1，故b2?3，于是S△F1AF2?b2?cot12，即tan12=2532223?2?2tan2?22??122． 设?F1AF2??，则tan???91?tan21?28
目标班学案3
x2y2【拓3】 （2010浙江10）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线2?2?1(a?0，b?0)的焦点，若在双
ab曲线上存在点P，满足?F1PF2?60?，|OP|?7a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x?3y?0 B．3x?y?0 C．x?2y?0 D．2x?y?0
【解析】 D
|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2由余弦定理得：cos60???|PF1|?|PF2|?4b2，
2|PF1||PF2|cos?POF2?7a2?c2?|PF2|227ac ① ②
cos?POF1?7a2?c2?|PF1|227ac①＋②得14a2?2c2?(|PF1|2?|PF2|2)?0
b2b即14a?2c?4a?8b，即b?2a，所以2?2，??2，
aa故y??2x．
222222
考点5：双曲线中的最值问题 提高班学案3
x2y2y2x2【铺1】设连结双曲线2?2?1与2?2?1（a?0，b?0）的四个顶点所得四边形面积为S1，连
abba结四焦点所得四边形面积为S2，则S1:S2的最大值为 ． 1【解析】
2S1aba2?b21112222≤?． S1??2a?2b?2ab，S2??(2c)?2c?2(a?b)，故?2222Sa?b2(a?b)2222
x2【例5】 ⑴若P是双曲线?y2?1右支上一个动点，F是双曲线的右焦点，已知点A的坐标是
3(3，5)，则|PA|?|PF|的最小值是_______．
x2⑵若P是双曲线?y2?1右支上一个动点，F是双曲线的右焦点，已知点A的坐标是
3(3，1)，则|PA|?|PF|的最小值是________．
【解析】 ⑴
26 x2双曲线?y2?1中，a2?3，b2?1，c?2，F(2，0)．
3
第9讲·尖子-目标·教师版
11
如图，要求|PA|?|PF|的最小值，只需把折线段拉直，即当点P运动到AF与双曲线的交点P?时，|PA|?|PF|取得最小值，并满足|P?A|?|P?F|?|AF|， 最小值为|AF|?(3?2)2?(5?0)2?26．
⑵26?23
x2双曲线?y2?1中，a2?3，b2?1，c?2，F(2，0)，如
3图所示．找到其左焦点F1(?2，0)，
如图，根据双曲线第一定义，|PF1|?|PF|?2a?23， 因此|PF|?|PF1|?23，
|PA|?|PF|?|PF1|?23?|PA|?|PF1|?|PA|?23．
F1OyP'AFPx故此题转化为求|PF1|?|PA|的最小值问题． 求|PF1|?|PA|的最小值仍然是拉直，
当点P运动到AF1与双曲线右支的交点P?时，|PF1|?|PA|取得最小值， 并满足|P?F1|?|P?A|?|AF1|?(3?2)2?(1?0)2?26．即最小值为26． 则|PA|?|PF|?|PF1|?23?|PA|?|PF1|?|PA|?23的最小值为26?23．
9.2 抛物线
考点6：抛物线及其标准方程
暑假知识回顾
1．平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
p?p?0?，准线方程是x??，2．抛物线的标准方程：y2?2px(p?0)，焦点在x轴正半轴上，坐标是?，2?2?其中p是焦点到准线的距离． 3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程y2?2px(p?0)研究性质）： ⑴范围：抛物线在y轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．
⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e表示，e?1．
4．设抛物线的焦点到准线的距离为p(p?0)，抛物线方程的四种形式如下：
标准方程 ly图形 对称轴 焦点坐标 准线方程 y2?2px (p?0)OFxx轴 p(，0) 2x??p 2 12 第9讲·尖子-目标·教师版
y2??2px(p?0)yl FOx(?p，0) 2x?p 2y x2?2py(p?0) OFxlp(0，) 2y??p 2 x??2py(p?0)2yOy轴 lFx p(0，?) 2y?p 2 练习2:⑴动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x?2?0的距离相等，则P的轨迹方程为 ．
⑵（2010浙江理13）设抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，点A(0，2)，若线段FA的中点B在
抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________．
⑶（2012四川理8）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)， 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ） A．22 B．23 C．4 D．25 【解析】 ⑴ y2?8x
由定义知p的轨迹是以F(2，0)为焦点的抛物线，p?4，所以其方程为y2?8x．
3⑵ 2 4?2?，1利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2，B点坐标为???4?，所以点B到??3抛物线准线的距离为2．
4⑶ B
pp由题意设抛物线方程为y2?2px?p?0?，则M到焦点的距离为xM??2??3，
2222?4?2，∴y0??22，∴OM?4?y0∴p?2，∴y2?4x，∴y0?4?8?23．
经典精讲
【例6】 ⑴已知以F为焦点的抛物线y2?4x上的两点A、B满足AF?3FB，则弦AB的中点到准
线的距离为 ．
⑵过抛物线x2?2py（p?0）的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两
第9讲·尖子-目标·教师版
13
点，（A在y轴左侧），则⑶
AFFB? ．
设抛物线y2?2x的焦点为F，过点M?3，0的直线与抛物线相交于A，B两点，与
S△BCF?（ ） S△ACF?抛物线的准线相交于C，BF?2，则△BCF与△ACF的面积之比A．
【解析】 ⑴
4241 B． C． D． 53728； 3法一：
过点A，B分别作AA?，BB?垂直于准线，垂足分别为A?，B?． 过点B作BC垂直AA? 于C，交x轴于点D， 记准线与x轴交点为F?．
设|BF|?m，由抛物线的定义知|AA?|?3m，|BB?|?m， 在△ABC中，DF∥AC，|BF|:|FA|?1:3，
1m故|DF|?|AC|?．
42m34于是|FF?|?m??m?p?2，解得m?．
223m?3m8?2m?． AB的中点到准线的距离?23法二：
A'yCAF'ODFB'BxP如图，延长AB，交抛物线的准线与P，作A、B、F在准线上的投影A?、B?、F?．
AA?AF??3，设AA??3m，BB??m， 于是BB?BF则弦AB中点到准线的距离为2m，AB?AF?BF?AA??BB??4m． 而PAPB?AA??3，PA?PB?AB?4m，所以PA?6m，PB?2m． BB?因此
FF?PF2m?m1???， AA?PA6m2而FF??p?2，所以AA??2FF??4，从而m?⑵
48，于是2m?为所求． 331； 3过A，B作AA?，BB?垂直抛物线的准线于A?，B?， 记直线AB交准线于点P，
yBAPA'OB'Fx设|AF|?m，|BF|?n，则|PA|?2|AA?|?2|AF|?2m，
|PB|2m?m?nm1=?2，所以?． 所以
|BB?|nn3⑶ A
14 第9讲·尖子-目标·教师版
1BCS2?2xB?1， 由题知△BCF??S△ACFACx?12xA?1A213又BF?xB??2?xB??yB??3 22y?yAyM?yB由A、B、M三点共线有M， ?xM?xAxM?xBxB?y4C2AFx=-0.5-25x0?3，故xA?2， 33?xA3?2S2x?13?14∴△BCF?B??，故选择A． S△ACF2xA?14?15即0?2xA?B
考点7：抛物线的最值问题
<教师备案> 抛物线中的最值问题分成两类，一类借助抛物线的定义，将抛物线上一点到准线的距离与
到焦点的距离进行转化，从而借助几何图形直接得到距离和的最值，见例7．另一类是无法通过几何得到最值，需要通过具体的代数计算得到最值，见例8．
经典精讲
【例7】 ⑴
12?17? x上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是?6，?，2?2?则PA?PM的最小值是（ ） 已知P为抛物线y?A．8 B．
1921 C．10 D． 222⑵已知点P在抛物线y?4x上，那么点P到点Q(2，?1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
?1??1??1? B．?，1? C．(1，A．?，2) D．(1，?2) ?4??4?【解析】 ⑴ B
1如图，由抛物线定义知PF?PP??PM?，
211故PM?PF?．所以问题即为求PA?PM?PA?PF?22的最小值，当P、A、F三点共线时取到，AF?10，故
yAPFOP'Mx119PA?PM的最小值为10??．
22⑵ A
由抛物线的定义知，即求抛物线上的点P，使得它到准线x??1的距离与到点Q(2，?1)的
距离之和最小，过Q点作准线的垂线，与抛物线交于一点，P为此点时，有距离和的最小
第9讲·尖子-目标·教师版
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