yB2AFEBCDF1A1BAA2xF2CDB1第⑴题
【解析】 ⑴
3?1
第⑶题
设正六边形边长为1，则以FC为x轴，中垂线为y轴建立直角坐标系，则F(?1，0)， C(1，0)，故c?1，因为FC?2，BC?1，所以BF?3，即BF?BC?3?1?2a，故a?⑵ D
3?1c，所以e??2a13?12?23?1?3?1．
x2y2设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，则F(c，0)，B(0，b)，
abb直线FB:bx?cy?bc?0与渐近线y?x垂直，
abb所以????1，即b2?ac，得c2?a2?ac，
ca1?51?5即e2?e?1?0，解得e?或e?（舍去）．
225?1⑶e?；
2由题意知：在Rt△B2OF2中，OA?B2F2，
又F2(c，0)，B2(0，b)，OA?OA2?a， Rt△OAF2∽Rt△B2OF2，于是有
OAOF2?OB2B2F2，
即
ab，两边平方将b2?c2?a2代入整理得：a4?3a2c2?c4?0， ?cb2?c2得e4?3e2?1?0，解得e2?故e?
目标班学案1
5?1． 23?5（e2?1，舍去一根）， 2x2y2a2【拓3】设双曲线2?2?1(a?0，与两条渐近线交于P、Q两 b?0)的右焦点为F，直线x?abc点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e?______． 【解析】 2
6
第9讲·尖子-目标·教师版
x2y2b设双曲线2?2?1(a?0，0)，渐近线方程为y??x， b?0)的右焦点为F(c，aba?a2ab??a2ab?a2又直线x?与两条渐近线交于P、Q两点，∴P?，?，Q?，??，
c?c?c?c?c?a2?a2ab?ab?∴FP???c，?，FQ???c，??
c?c??c?c?a2?a2b2∵△PQF是直角三角形，∴FP?FQ?0，即??c??2?0，即a2?b2．
c?c?2∴双曲线的离心率e?2．
考点3：双曲线离心率的取值范围问题
<教师备案> 有些问题是给定双曲线一些限制，求离心率的范围．有时需要用到双曲线的一个性质，若
x2y2双曲线2?2?1的一个右（左）焦点为F，P为双曲线右（左）支上任一点，则PF的
ab最小值为c?a，当P为右（左）顶点时取到． 证明很简单，设P(x0，y0)，F(c，0)，
2?c22c2?a2?222222?x0则PF?(x0?c)?y0?(x0?c)?b?2?1??2x0?2cx0?c?b?2?x0??，
a?c??a?ac?a2?从而PF??x0???ex0?a．（其实这就是双曲线焦半径公式之一）
a?c?22又因为x0≥a，故当x0?a时，有PFmin?c?a． 有这个天然的限制，解决一些问题时需要注意：
x2y2例双曲线? ?1的左右焦点分别为F1、F2，双曲线上一点P满足PF1?9，求PF2．
1620解：由双曲线的定义可知PF2?1或17，但前者必须舍去． 下面例3的⑵⑶都用到这个限制．
【例3】 ⑴
x2y2?1的离心率e的取值范围是______． 设a?1，则双曲线2?a(a?1)2x2y2⑵已知双曲线2?2?1(a?0，右焦点分别为F1，点P在双曲线的右支上，F2，b?0)的左，
ab且|PF1|?4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 ． x2y20)，F2(c，0)，若 ⑶已知双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别为F1(?c，absin?PF1F2a双曲线上存在一点P使?，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
sin?PF2F1c【解析】 ⑴
?2，5
a2?(a?1)21?1????1??1，而0??1，故2?e?5．
aa?a?2?e?⑵
5； 3
第9讲·尖子-目标·教师版
7
82由定义知|PF1|?|PF2|?2a，又已知|PF1|?4|PF2|，解得PF1?a，PF2?a，
3325
PF2min?c?a，从而只要a≥c?a，就能得到P点存在，解得e≤，
33
5等号可以取到，即e的最大值为．
3⑶ 1，2?1；
因为在△PF1F2中，由正弦定理得
，
sin?PF1F2sin?PF2F1acc则由已知得，即PF1?PF2，由双曲线的定义知PF1?PF2?2a， ?PF2PF1a?PF2PF1??c2a2则PF2?PF2?2a，即PF2?， ac?a2a2由双曲线的几何性质知PF2?c?a，则?c?a，即c2?2ac?a2?0，
c?a所以e2?2e?1?0，解得?2?1?e?2?1，又e?(1，??)， 故双曲线的离心率e?1，2?1．
提高班学案2
??x2y2【拓1】已知双曲线2?2?1(a?0，b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60?的直线与双曲线
ab的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
yA．?1，2? B．(1，2) C．?2，??? D．(2，??) l【解析】 C
1x2y2如图，l1与l2分别为与双曲线2?2?1的渐近线平行的两条直线，
ab直线l为过F且倾斜角为60?的直线，要使l与双曲线的右支有且只有
lOFl2xb?b?一个交点，则应使≥tan60??3，∴e?1???≥2．
a?a?
尖子班学案2
2x2y2【拓2】双曲线2?2?1(a?1，0)到直线l 0)和(0，b)，且点(1，b?0)的焦距为2c，直线l过点(a，ab4的距离与点(?1，0)到直线l的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．
5xy【解析】 直线l的方程为??1，即bx?ay?ab?0．
abb(a?1)由点到直线的距离公式，且a?1，得到点(1，， 0)到直线l的距离d1?22a?bb(a?1)2ab2ab同理得到点(?1，，s?d1?d2?． ?0)到直线l的距离d2?2222ca?ba?b42ab4由s≥c，得≥c，即5ac2?a2≥2c2．
5c5于是得5e2?1≥2e2，即4e4?25e2?25≤0．
8
第9讲·尖子-目标·教师版
55解不等式得≤e2≤5，由于e?1?0，所以e的取值范围是≤e≤5．
24
目标班学案2
【拓3】若椭圆或双曲线上存在一点P到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“?
点”，下列曲线中存在“?点”的是（ ）
x2y2x2y2y22A. ??1 B. ??1 C. x??1 D. x2?y2?1
2524151615【解析】 D；
在椭圆中，
PF12a?2?1，PF1?PF2?2a,PF1?2PF2，即PF2?，又PF2≥a?c， PF23（椭圆上的点到焦点距离的最值为a?c，a?c，分别对应椭圆的端点，推导类型双曲线）
12aa1故≥a?c?c≥?e≥，又0?e?1，故≤e?1．
3333PF1?2?1，PF2?2a，PF2≥c?a，故2a≥c?a?3a≥c?e≤3， 在双曲线中PF2又e?1，所以1?e≤3．
1?1?1?1?x2y2x2y2由A：?1?，错误；由B：?1?，错误； ?1，e???，?1，e???，4?3?5?3?25241615y23?，正确. 3?，错误；由D：x2?y2?1，e?2??1，由C：x??1，e?4??1，152
考点4：双曲线的焦点三角形
知识点睛
双曲线的焦点三角形：以双曲线的两个焦点F1、F2与双曲线上任意一点P为顶点组成的三角形．
x2y2<教师备案>F1、F2为双曲线2?2?1的两个焦点，P在双曲线上，且?F1PF2??，△F1PF2的面积
ab1?S?PF1?PF2sin??c?yP?b2?cot．
22?|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2|PF1|2?|PF2|2?4c2?，①?cos??2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|证明：∵?F1PF2??，∴?
?|PF|?|PF|?2a，②12?4a2?2|PF1||PF2|?4c22b2将②平方代入①式，得cos??，解之得|PF1||PF2|?，
2|PF1||PF2|1?cos?112b2b2??sin???b2?cot． ∴△F1PF2的面积为PF1PF2sin????221?cos?2tan2例4的三个小题都可以直接用推导后的公式做，如果不直接用公式，就需要用双曲线的定义+余弦定理进行推导计算，相当于又推导了一遍面积公式．
第9讲·尖子-目标·教师版
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x2【例4】 ⑴设F1、F2为双曲线?y2?1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?F1PF2?90?，则
4△F1PF2的面积是（ ）
5 C．2 D．5 2x2⑵F1和F2为双曲线?y2?1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?F1PF2?60?，则
4△F1PF2 的面积是__________．
A．1 B．⑶
【解析】 ⑴ A
设F1，F2是双曲线3x2?5y2?15的两个焦点，点A在双曲线上，且?F1AF2的面积等于22，则?F1AF2的正切值为_______． b21??1； 解法一：S??F1PF2tan45?tan21|F1F2|?|y0|知：要先求得P点纵坐标． 2利用点P在双曲线上和PF1?PF2列出方程组，可以获解． 解法二：设P(x0，y0)，由面积公式S△F1PF2?2x0x222设P(x0，y0)，∵点P在双曲线?y?1上，∴?y0?1 ①
44y0y0又F1?5，???1 ② 0，F25，0，由PF1?PF2知x0?5x0?5????解①②得y0??解法三：
5115．∴△F1PF2的面积S?|F1F2|?|y0|??25??1．
22551|PF1|?|PF2|sin?F1PF2，需要先求得|PF1|?|PF2|的值． 2由勾股定理有|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2，再由双曲线的定义有||PF1|?|PF2||?4……②， 由三角形面积公式S△F1PF2?对②两边平方|PF1|2?2|PF1|?|PF2|?|PF2|2?16，
1∴|PF1|?|PF2|?(|PF1|2?|PF2|2)?8．
2由双曲线方程得|F1F2|?25．在Rt△F1PF2中，|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2?20，
1∴|PF1|?|PF2|?2，∴△F1PF2的面积S?|PF1|?|PF2|?1．
2⑵3；
由已知：a?2，b?1，c?5． 在△F1PF2中，由余弦定理得
|F1F2|2?|PF1|2?|PF2|2?2|PF1|?|PF2|?cos?F1PF2?(|PF1|?|PF2|)2?2|PF1|?|PF2|?(1?cos?F1PF2)．
又∵|F1F2|?2c?25，||PF1|?|PF2||?2a?4，?F1PF2?60?， ∴25??2?42?2|PF1|?|PF2|?(1?cos60?)，从而|PF1|?|PF2|?4，
∴S△PF1F2?⑶ ?122；
11|PF1|?|PF2|?sin?F1PF2??4?sin60??3． 22 10 第9讲·尖子-目标·教师版