文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 2∠PF1F2=∠PF2F1=
，则|PF2|=c，
．
c，
故双曲线的离心率为
故选A．
点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出s=3，那么判断框内应填入的条件是k≤7．
考点： 伪代码．
专题： 算法和程序框图．
分析： 根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．
解答： 解：根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3
第二次循环 log23?log34 4
第三次循环 log23?log34?log45 5
第四次循环 log23?log34?log45?log56 6
第五次循环 log23?log34?log45?log56?log67 7
第六次循环 log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7． 故答案为：k≤7
点评： 本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．
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14．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则
=
．
考点： 向量在几何中的应用．
专题： 计算题；数形结合；转化思想．
分析： 根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把
用
表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得
的值．
解答： 解：∵AB=3，BD=1， ∴D是BC上的三等分点， ∴∴=故答案为
． =
=9﹣
，
=
，
点评： 此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．
15．（5分）已知抛物线原点，则
=﹣4．
，过点P（0，2）作直线l，交抛物线于A，B两点，O为坐标
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设直线l：y=kx+2．A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用数量积运算性质即可得出．
解答： 解：设直线l：y=kx+2．A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立
，化为x﹣4kx﹣8=0，
2
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣8．
2
∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=kx1x2+2k（x1+x2）+4． ∴
=x1x2+y1y2=（1+k）x1x2+2k（x1+x2）+4
2
2
2
=﹣8（1+k）+8k+4 =﹣4．
故答案为：﹣4．
点评： 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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16．（5分）在R上定义运算：x*y=（1﹣x）y，若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值集合是（﹣，）．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
22
分析： 由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＜1对于任意的x都成立，变形整理可得y﹣y＜x﹣
22
x+1对于任意的x都成立，构造函数g（x）=x﹣x+1，只要y﹣y＜g（x）min即可． 解答： 解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）=[1﹣（x﹣y）]（x+y）=（x+y）（1﹣x+y）＜1对于任意的x都成立，
22
即y﹣y＜x﹣x+1对于任意的x都成立， 设g（x）=x﹣x+1=（x﹣）+， 所以，g（x） min=， 所以y﹣y＜， 所以﹣＜y＜，
所以实数y的取值范围是（﹣，）． 故答案为：（﹣，）．
点评： 本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分） 17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（Ⅰ）求证：A=B； （Ⅱ）求边长c的值； （Ⅲ）若|
+
|=
，求△ABC的面积．
?
=
?
=1．
2
2
2
考点： 平面向量数量积的运算；余弦定理的应用． 专题： 计算题． 分析： （1）由
，
，
故可将?
=
?
=1转化为一个三角方程，
解方程即可证明：A=B
（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值． （3）若|
+
|=
平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合（2）的结论，
即可求△ABC的面积． 解答： 解：（Ⅰ）∵
?=?．
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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB 由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB ∴sin（A﹣B）=0 ∵﹣π＜A﹣B＜π ∴A﹣B=0，∴A=B （Ⅱ）∵
?
=1，∴bccosA=1
由余弦定理得bc?
2
=1，即b+c﹣a=2
|+2|
2
222
∵由（Ⅰ）得a=b，∴c=2，∴c=（Ⅲ）∵|
2
2
+|=，∴||+|
2
?|=6
即c+b+2=6 22
∴c+b=4 2
∵c=2 2
∴b=2，b=
∴△ABC为正三角形 ∴S△ABC=
×（
）=
2
点评： （1）中在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可．（2）正、余弦定理是解三解形必用的数学工具，正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况，余弦定理一般用于已知三边及两边和其夹角的情况． 18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=log2an，cn=
，记数列{cn}的前n项和Tn，若对n∈N，Tn≤k（n+4）恒成立，
*
求实数k的取值范围．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）当n=1时，a1=S1，解得a1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得bn，利用cn=即可得出：数列{cn}的前n项和Tn=
，化为
=
*
．利用“裂项求和”
．由于对n∈N，Tn≤k（n+4）恒成立，可得
=
，利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，
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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 化为an=2an﹣1，
∴数列{an}是以2为公比的等比数列， ∴
．
=n，
．
+?+
=
=
．
（2）∵bn=log2an=∴cn=
=
∴数列{cn}的前n项和Tn=
∵对n∈N，Tn≤k（n+4）恒成立， ∴
，化为
*
=．
∵n++5∴
，
=9，当且仅当n=2时取等号．
∴．
．
∴实数k的取值范围是
点评： 本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 19．（12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图： （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在 [50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．
考点： 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；
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