文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com
（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．
（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可． 解答： 解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005． （Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2， 成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，
其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个， 故所求概率为P=
．
点评： 本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题． 20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D； （2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；
（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．
解答： （1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点． ∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线， ∴A1B∥OD．
∵OD?平面AB1C，A1B?平面AB1C， ∴直线AB1∥平面BC1D；
（2）证明：∵AA1⊥底面ABC， ∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点 ∴BD⊥AC
- 16 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴S△BCD=
∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=?
=
， ?6=9
．
，
点评： 本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题． 21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值； （Ⅱ）若存在
（e为自然对数的底数，且e=2.71828?）使不等式2f（x）≥﹣x+ax
2
﹣3成立，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题． 专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）先求出函数的导函数，研究出原函数在[1，3]上的单调性即可求出函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥﹣x+ax﹣3成立转化为
，利用导函数求出h（x）在
数a的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分） 当当
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
2
成立，设
上的最大值即可求实
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增． 又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分） （Ⅱ）由题意知，2xlnx≥﹣x+ax﹣3，则若存在
2
2
．
使不等式2f（x）≥﹣x+ax﹣3成立，
- 17 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 只需a小于或等于
的最大值．
设，则．
当时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增． 由可得所以，当
，．
时，h（x）的最大值为h（）=﹣2++3e，
，
，
故a≤﹣2++3e（13分）
点评： 本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．
22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x=8y的焦点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P（2，3），Q（2，﹣3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．
2
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
2
分析： （I）设出题意方程，它的一个顶点恰好是抛物线x=8y的焦点，可求b，利用离心率为，解得a即可求椭圆C的标准方程；
- 18 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com （Ⅱ）设出坐标A，B，直线AB的方程为
，代入椭圆方程，整理后由得t的范围，由
韦达定理得求得|x1﹣x2|，从而可求四边形APBQ的面积，即可解得当t=0，四边形APBQ面积的最大值．
解答： （本题满分12分） 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为则由
．
，得a=4，
（a＞b＞0），
∴椭圆C的方程为．
，
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为
代入
2
2
，
得x+tx+t﹣12=0，
由△＞0，解得﹣4＜t＜4， 由韦达定理得四边形APBQ的面积∴当t=0，
．
．
，
点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，考查了转化思想，属于中档题．
- 19 -