兰州大学2008年数学分析考研试题及解答
一．计算. 1.求limlnn?1?n????1??2??n?1??1??????. n??n??n?解 limlnn??nn1??2??n?1?k??ln?1?? ??1???1????1???limn??n??n?n??k?1n?n?? ??10ln?1?x?dx
2 ??1lnxdx??xlnx?x?
12 ?2ln2?1. 2.设an?1?3?5??2n?1?2?4?6??2n?，?n?1,2,??，
求证（1）?an?单调递减； （2）an?12n?1；
（3）求liman.
n??证明 （1）因为
an?1an?2n?12n?2?1，
所以an?1?an，?n?1,2,??， 于是?an?是单调递减的； （2）由?2k?1??2k?1??1?3?5??2n?1?2?4?6??2n??2k?1???2k?1?2?2k，
得an??113?335?2n?12n?12n?1
?12n?112n?1，?n?1,2,??
（3）由（2）知0?an?，
所以liman?0.
n??11?3?233 求lim??x?3x???x?2x?2?.
x?????11?3?2解 lim??x?3x?3??x?2x?2?
x?????11??3232?????limx??x?2???1??? x?????x?x?????113?3?2?2?1??1????2?x?x????limx???1x
?lim?t?0?1?3t?213??1?2t?2t1
21??1?1?23?lim???1?3t??6t??1?2t?2??2?? t?02?3??1.
4. 求I?解 I????0xsinx1?cosxxsinx2dx
0?01?cosx2dx?????0???y?sin???y?21?cos???y???dy?
????0?x?sin???x?1?cosx2dx
???所以 I??sinx1?cosx2dx?I,
?22??0sinx1?cosx2dx
??21?111?tdt
??2arctant1?1???2?2??24.
x3y?x?y3?5. 求lim?cos?x??,x??y?ax3.
y?x?y3?解lim?cos?x??,x??y?a
31??yy??cos?1?lim??1?cos?1?x?x??,??x??y?a??y??x?cos?1?3x??x?y
?ey?ay?x?lim?cos?1?x??,?x?x?y33，
33yx??x?2y? lim?cos?1??lim?2sin??33x??,x??,xx?yxx?y????y?ay?a ??2limyx22x??,y?a?x33x?y
??2limy1?2x??,y?ay3??2a2，
xx32y?x?y3??2a?e故lim?cos?x??,x??y?a.
6. 求I???Lxdy?ydxx?y22，其中L是不过原点的简单闭曲线.
xx?y22解 记P??Q?x?P?y?yx?y22，Q?，
则
??0，?x,y???0,0?，
而由Green公式
若原点?0,0?在L所围区域的内部，则取??0充分小，使得B??0,0?,??包含在L所围区域的内部.
I?x?y?B??0,0?,??2?0?xdy?ydx22
? ???cos????cos????sin?????sin???d??2?.
2d?
?2?0二．设f?x?在x?0处可导，且f?0??0，f??0??1. 证明 存在??0，使得x??0,??时，有f?x??x. 证明 由题设条件，知
limf?x?x?limf?x??f?0?x?0?f??0??1，
x?0x?0于是存在??0，使得当0?x??时， 有
f?x?xf??0??12?1，
?从而当x??0,??时，有f?x??x.
三．试证明f?x??x?2在?0,1?上不一致连续，但是对任何0???1，f?x??x?2在
??,1?上一致连续.
证明（1）取xn?2n，yn?3421n，尽管lim?xn?yn??0，
n??但f?xn??f?yn??n???，?n????，
所有f?x??x?2在?0,1?上不一致连续； （2）f??x???2x?3，当x???,1?时，
?3f??x???2x?2??3，
即f??x?在??,1?上有界，故f??x?在??,1?上一致连续. 对任意x1,x2???,1?，
f?x1??f?x2??1x12?1x22
?x1?x2xx2122x1?x2?2?3x1?x2，
由此，即得f?x?在??,1?上一致连续.
四．设0????，?为实参数，记f??x??x??x???.
证明 存在A?0，使得对任何???0,A?都存在??0，a?0，满足f??a???. 证明 由于当x?1，x??x??0，f??x??0， 对x??0,1?，有x??1?x?????0，
存在0?a1?a2?1，使得当x??a1,a2?时，x??x??0，
x?x?min??x??a1,a2?x???x???b?0，
取A?b3，则对任何???0,A?,
当x??a1,a2?，
f??x??x?x???b???b3?23b，
取??23b，对x??a1,a2?，都有f??a???.
?五．设p?0，讨论级数?n?1xnnp的敛散性.
解 设u?x??xnnp，
当x?0时，显然级数收敛， 当x?0时，由于limun?1?x?un?x??n??lim??x?xn??n?1??,
n??所以当x?1时，原级数绝对收敛， 当x?1时，原级数发散，
?当x??1时，由???1?n?1p1np收敛，
当x??1，p?1时，原级数条件收敛，