证明（1）显然limf?x,y??0?f?0,0?，
x?0y?0所以f?x,y?在点?0,0?处连续， 由
f?x,0??f?0,0?x?0，
f?0,y??f?0,0?y?0，
知fx?0,0??0，fy?0,0??0，
?R??x,?y??f??x,?y????f?0,0??fx?0,0??x?fy?0,0??y?
?2?x?y，
2当??x????y??0时，
R??x,?y???x?y??x?2???y?2??x?2???y?2不存在极限，
所以f?x,y?在?0,0?处不可微.
?七．设f?x???n?112?xn，
证明（1）f?x?在?0,???上可导，且一致连续； （2）反常积分???0f?x?dx发散.
12?xn证明 （1）记un?x??对任意x??0,???，
0?un?x???，
12n，
所以?un?x?在?0,???一致收敛，
n?1?f?x???n?112?xn在?0,???上连续，
对x1,x2??0,???，
f?x1??f?x2???11???n?n?2?x2?x2?n?1?1?
? ??n?1?1?2nn?x1??2?x2?nx1?x2
??n?1122nx1?x2
?13x1?x2，
由此既得f?x?在?0,???一致连续；
??x???un1??x??,un122n?2n?x?2?14n,
?u??x?在?0,???上一致收敛，
nn?1???于是f?x?在?0,???连续可导，且f??x??（2）由于，f??x??0，
?n?1??x????unn?11?2n?x?2.
?22kk?1f?x?dx??2?k?12k?n12?x1dxkdx
n?1 ? ? ??22k?22kk?12?xkk
k?112?2k?214?2?
2k?1k2?2?，?k?1，
所以?k?1?k?1f?x?dx发散，
故???0f?x?dx发散.