当x??1，p?1时原级数绝对收敛， 当x?1，p?1，原级数发散， 当x?1，p?1原级数绝对收敛.
六．设f?x?在?a,b?上有界，记f??x??max?f?x?,0?，f??x??max??f?x?,0?， 证明 f?x?在?a,b?上可积的充分必要条件是f??x?，f??x?在?a,b?上均可积，并且?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx.
证明 必要性 设f?x?在?a,b?上可积，我们知道f?x?上可积，由
f??x??f?x??f?x?2，f??x??f?x??f2?x?
得 f??x?，f??x?在?a,b?上均可积， 显然f?x??f??x??f??x?， 所以?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx；
充分性 设f??x?，f??x?在?a,b?上均可积， 由f?x??f??x??f??x?， 知f?x?在?a,b?上可积， 且?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx.
七．设二元函数f?x,y?对x连续，对y连续且关于其中一个变元单调， 证明 它关于两个变元是混合连续的. 证明 不妨设f?x,y?关于y单增，
对于任意固定的?x0,y0?，由于f?x0,y?关于y连续， 对任意??0，存在?1?0，使得当y?y0??1时， 有f?x0,y??f?x0,y0???4，（1）
由于f?x,y0??1?，f?x,y0?，f?x,y0??1?关于x连续，
对于上述??0，存在?2?0，使得当x?x0??2时， 有f?x,y0??f?x0,y0??ff?4，
???x,y0??1??f?x0,y0??1??x,y0??1??f?x0,y0??1??4， ，
?4现对任意的?x,y?满足
x?x0??2， y?y0??1，
当y0?y?y0??1时，
f?x,y??f?x0,y0??f
?f?x,y??f?x,y0??x,y??f?x0,y0?
?f?x,y0??1??f?x,y0??f?x,y??f?x0,y0??f?x,y0??1??f?x0,y0??1??f?x0,y0??1??f?x0,y0? ?f?x0,y0??f?x,y0??f?x,y0??f?x0,y0?
??，
同理当y0??1?y?y0时f?x,y??f?x0,y0???， 于是得f?x,y?在?x0,y0?处连续， 结论得证.
八．设连续函数f?x?满足f?1??1，记F?t??2???2f?x?y?z22222?dxdydz，
x?y?z?t证明 F??t??4?. 证明 F?t???2?0d??d??f?r00t0?t2?r2sin?dr
?4??r2f?r2?dr，
F??t??4?tf?t22?，
F??1??4?f?1??4?.
九．称f?x?是凸函数，如果对任意的???0,1?，x,y?I,均有
f??x??1???y???f?x???1???f?y?，
（1）试着给出凸函数的几何解释；
（2）若f?x?是区间I上的凸函数，试讨论f?x?在I上的连续性质；
（3）若f?x?有下界，即存在常数M,使得对任何x，都有f?x??M，问f?x?是否有最小值？证明你的结论.
解（1）联结f图像上两点直线段总在这两点间f图像的上方. （2）对任意x1,x2,x3?I,满足x1?x2?x3，记
??x3?x2x，
3?x1而x2??x1??1???x3，
f?x2??f??x1??1???x3?
??f?x1???1???f?x3? ?x3?x2xf?xx11??x2?3?x1xf?x3?，
3?x1x3?x2xf?xx2?x1?x?x2x2?x12??,
3?x1x2??x33?xf1xf?x1??xf?x3?3?x13?x1x3?x2x(f?x2??f?x1?)?x2?x1x(f?x3??f?x2?),
3?x13?x1由此可得，
f?x2??f?x1??f?x3??f?x2?x2?x1x，
3?x2进而
f?x2??f?x1?fx3??f?x2??f?x3??f?x1?x2?x??1x3?x2x3?x;
1（3）对任意固定x0?(a,b)，任取x1,x2,x4?(a,b),x4?x0?x1?x2 则有
f(x4)?f(x0)f(x1)?f(x0)f(x2)?f(x0)x4?x?0x1?x?0x2?x，
0则 F(x,x0)?f(x)?f(x0)x?x0,(x?x0)，关于x单调递增，且有下界，于是存在右极限，
即f?'(x0)存在，同理可证f?'(x0)存在，由极限的保不等式性，可得f??(x0)?f??(x0) 。
于是f(x)在(a,b)内右导数存在，f(x)在(a,b)内左导数存在，且f??(x)?f??(x) 。
(4)对任意a?????b , ??x3?x1?x2?x4??,
f(x3)?f??x3????f?x1??f?x3?x1?x3?f?x2??f?x1?x2?x1?f?x4??f?x2?x4?x2?f(?)?f?x4???x4，
从而有
f??(?)?f?x2??f?x1?x2?x1?f??(?)
于是有
|f?x2??f?x1?|?L|x2?x1|，
即得f?x?在[?,?]上是Lipschitz连续的,从而f?x?在[?,?]上是连续,
故可得知f?x?在I内连续.
当I有端点时，f?x?在断点处未必连续. (5)f?x?未必有最小值， 例1 设f?x????1,2x?0?x,0?x?1，显然此函数在?0,1?上是凸函数,
但是f?x?在?0,1?上无最小值，f?x?在x?0处不连续. 例2 设f?x??1x，x??0,???，
f?x?在x??0,???上是凸函数，且有下界，
但是f?x??
1x在x??0,???上无最小值.
兰州大学2009年数学分析考研试题及解答
一．计算题
1.求limx?0??sint?0x0x232dt?.
?t?t?sint?dt2x?sinx2解 原式?limx?0?32?x?x?sinx?2??x?3
?limx?0?x?sinx
?12xsinx ?limx?0x2?6x2?1?cosx32?lim?x?0??12
2注：limx?0??sint?0x0dt??t?t?sint?dt?12，lim?x?0??sint?0x0x32dt??12
?t?t?sint?dt2.求?arctanxdx. 解 原式?xarctanx??111?x21?1x?12?xdx
?xarctanx? ?xarctanx?dx ?21?xx21?21?yy2dy y??x?
?xarctanx?y?arctany?C ??x?1?arctanx?y?C. 3.计算?dx?12xx1yyyedy??x?42dx?2x1yedy.
?x解 原式? ??21221dy?1yedx
?x??y?1?e?y?ydy
?2 ???ye?21??2e?e.
?1