4.求抛物线y2?4x与它在?1,2?处的法线所围成的有限区域的面积. 解 在?1,2?处，
dydxx?1dydx?2y，
k??1，
法线的斜率为?1，
设法线方程为y?2???x?1?，x?3?y， 法线与抛物线交于?1,2?，?9,?6?， 于是所求的面积
S??2?6dy?y243?y2?y?dx???3?y??dy ?64??223?12y? ??3y?y??212??
?6?3?8?12???32??1?24?16?563??1264?224
3.
n?15.求幂级数???1?n?1x2n?1n2n?1的收敛域与和函数.
解 设un?x????1?xn，
un?1?x?un?x??n?22?lim?x?x?n???n?1?当x?0时，由于lim,
n??当x?1时，原幂级数绝对收敛，
?当x??1时，?n?1???1?nn为条件收敛，
当x?1时，?n?1??1?nn?1为条件收敛，
当x?1时，原幂级数发散，
?S?x?????1?n?1n?1x2n?1n??2x????1?n?1n?1x2n2n
??2x2x?x0x0??n2n?1??1t?????dt ?n?1???dt? ???n1??2????t?t?n?1
??2x?1x1xx01?dt 2t1?txt2 ?? ???2t1?t20dt
ln?1?t2?x0??ln?1?xx2?，?x?1?.
limln?1?xx2?2x?lim1?xx?01L2x?0?0.
6.计算曲线积分??exsiny?b?x?y??dx??excosy?ax?dy，其中L是从?2a,0?沿着曲线y?2ax?x2到点?0,0?的一段. 解 记P?exsiny?b?x?y?,Q?excosy?ax, 则
?P?y?ecosy?b，
x?Q?x?ecosy?ax，于是
?Q?x??P?y?b?a，
曲线y?2ax?x2，即
x?2ax?y?0，y?0，
22?x?a?D?2?y?a22，y?0，
2??x,y?:?x?a??y?a,y?0，
22?由Green公式 原曲线积分????b?a?dxdy?D???bx?dx
022a ??b?a???a2?b?2a?
2211 ????4?ab??a232n??.
二．证明：limsinn不存在. 证明 由于区间??2k????4,2k???3??，k?0,1,2,??长度为?1，而存在整数 ?4?2??3???； nk??2k??,2k???44??同理存在mk??2k??， ,2k???44??假若limsinn?a存在，
n???5?7??则有limsinnk?a，limsinmk?a，
k??k??由于
2222?sinnk?1，?1?sinmk??22，
从而?a?1，?1?a??22，
这是矛盾的， 所以limsinn不存在.
n??三．设函数f:?a,b???a,b?，满足f?x??f?y??Lx?y，任意x,y??a,b?其中
L?,?为正常数.
证明 （1）当??1时，f?x?恒为常数；
（2）当L?1,??1,存在唯一的???a,b?，使得f?????. 证明 （1）当??1时， 由0?f?y??f?x?y?x?Ly?x??1?0，?y?x?，
知f??x??0，?x??a,b?，于是f?x?恒为常数； （2）显然f?x?连续，又a?f?x??b，
存在???a,b?，使得f?????， 下证唯一性.
设???a,b?，也满足f?????， 则????f????f????L???, 由于0?L?1， 所以????0，???，
故存在唯一的???a,b?，使得f?????.
四．设f?x?是区间I上的有界函数，证明f?x?在区间I上一致连续的充分必要条件是对任给的??0，总存在正数
fM，使得当x,y?I，x?y，且
?y??f??xy?x?M时，就有f?y??f?x???.
证明 充分性 用反证法.
假若f?x?在区间I上不一致连续，则存在?0?0，存在?xn?,?yn??I， 使得xn?yn?即有
f?xn??fxn?yn1n，但f?xn??f?yn???0，
?n?0，
?0，只需要n充分大，
?yn??02由假设条件，对
就有f?xn??f?yn??矛盾
?02，
所以f?x?在区间I上一致连续； 必要性 设f?x?在区间I上一致连续， 用反证法若结论不成立，
则存在?0?0，对任意正整数n，存在?xn?,?yn??I， 使得
f?xn??fxn?yn?yn??n，
但f?xn??f?yn???0. 即有xn?yn?2Mn?，??M?supf?x??， ?x?I?这与f一致连续矛盾.
注：对函数f?x??C，或者f?x??x，显然在I上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的?xn?，?yn?不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性. 五．设f:R2?R2是连续映射，若对R2中任何有界闭集K，f?1?K?均是有界的，证明f?R2?是闭集.
证明 设y是f?R2?的任意一个极限点， 则存在?xn??R2， 使得limf?xn??y，
n??而集合A??f?xn?:n?1,2,????y?，
作为R2中的有界闭集（有界是因为极限存在，而闭性是由于极限唯一） 其原像f?1?A?是有界的， 现因xn?f?1?A?， 所以?xn?是有界的，
由Weierstrass聚点定理，存在子列?xn?及x?R2，
k使得limxn?x，
k??k由f得连续性，limf?xnk??k??f?x??y，
所以y?f?x??f?R2?， 故f?R2?是闭集. 六．证明二元函数f?x,y??但在点?0,0?处不可微.
xy在点?0,0?处连续，fx?0,0?，fy?0,0?存在