t111?t2?t???因为 ?> 0, (0 < t < 1). 所以 ?222?221?t1?12?1?t?(1?t)n1t11n11n?1dt?tdt 于是 ?tdt??2?00021?t2'立即得到
111. ?In??2(n?1)2n2(n?1)
五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < ? < ? < 1的任何 ?, ?, 有
??f(x)dx???f(x)dx
0???x证明: 令F(x)?x???0f(t)dt???f(t)dt (x ? ?), F(?)???f(t)dt?0.
?0?F'(x)??f(t)dt??f(x)?0??0[f(t)?f(x)]dt?0, (这是因为t ? ?, x ? ?, 且f(x)单减).
所以 F(?)?F(?)?0, 立即得到?
??0f(x)dx???f(x)dx
??六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且f''(x)< 0, 证明:
?ba?a?b?f(x)dx?(b?a)f??
?2?f''(?)(x?t)2?f(t)?f'(t)(x?t) 2!证明: ?x, t?[a, b], f(x)?f(t)?f'(t)(x?t)?令t?a?b , 所以f(x)?2a?b??a?b??a?b??f???f'???x??
2??2??2??bba?b??a?b??a?b??f??dx??af'???x??dx
222??????二边积分
?baf(x)dx??a =(b?a)f??a?b??.
?2?
七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给? ? (0, 1), 有
???0f(x)dx???f(x)dx
01证明: 方法一: 令F(x)??(或令F(x)?x??x0f(?t)dt???f(t)dt
0x0x0f(t)dt???f(t)dt)
26
F'(x)??f(?x)??f(x)?0, 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) ? F(0) = 0. 即
??f(?t)dt???f(t)dt?0, 即
0011
??0f(x)dx???f(x)dx
01八. 设f(x)在[a, b]上连续, f'(x)在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: |f(x)|?1b|f'(x)|dx, (a < x < b) ?a2证明: ?|f'(x)|?f'(x)?|f'(x)|, 所以 ?即 ??xax|f'(t)|dt?f(x)?f(a)??|f'(t)|dt,
axax?|f'(t)|dt?f(x)??|f'(t)|dt;
abbxx??|f'(t)|dt?f(b)?f(x)??|f'(t)|dt
即 ??bx|f'(t)|dt?f(x)??|f'(t)|dt
xbbaab所以 ??|f'(t)|dt?2f(x)??|f'(t)|dt
1b|f'(x)|dx, (a < x < b) ?a2即 |f(x)|?
九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数f''(x), 且f(0)?f(1)?0，f(x)?0, 试证:
1
?0f''(x)dx?4 f(x)证明: 因为（0，1）上f(x) ? 0, 可设 f(x) > 0
因为f(0) = f(1) = 0
?x0 ? (0,1)使 f(x0) =
1max (f(x))
0?x?1所以
?011f''(x)f''(x)dx （1） dx>?0f(x0)f(x)在（0，x0）上用拉格朗日定理
f'(?)?f(x0） ??(0,x0) x0在（x0, 1）上用拉格朗日定理
27
f'(?)??所以
f(x0) ??(x0,1) 1?x0?10f''(x)dx??f''(x)dx?????f''(x)dx??f'(?)?f'(?)
f(x0)??4f(x0)x0(1?x0)（因为(所以
a?b2)?ab） 211f''(x)dx?4 ?0f(x0)由（1）得
?
10f''(x)dx?4 f(x)bb11f(x)dx]?lnf(x)dx. 十. 设f(x)在[a,b]上连续, 且f(x)?0,则ln[b?a?ab?a?a解. 将lnt在点x0展开, 得 lnt?lnx0?11(t?x0)?2(t?x0)2 x02?1t(t?x0)?lnx0??1 x0x0t?f(x), 得
所以 lnt?lnx0? 令 x0?b1f(x)dx,?ab?ab1f(x)dx? lnf(x)?lnb?a?af(x)1bf(x)dxb?a?a?1
二边做定积分, 得
b1f(x)dx?(b?a)?(b?a) ?a?ab?abb1f(x)dx ?lnf(x)dx?(b?a)lnab?a?abb11f(x)dx]?lnf(x)dx 所以 ln[b?a?ab?a?a
blnf(x)dx?(b?a)ln
十一. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证:
28
证明:
12?[f'(x)]dx?1
012?[f'(x)]dx??[f'(x)]dx?1dx?(?012121000f'(x)?1dx)2?(f(1)?f(0))2?1
2十二. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且
?20f(x)dx= 0,
?xf(x)dx= a > 0. 证明: ? ? ? [0, 2], 使
0|f(?)| ? a.
解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以? ? ? [0, 2], 取?使|f(?)| = max |f(x)| (0 ? x ? 2)使|f(?)| ? |f(x)|. 所以
a?|(x?1)f(x)dx|?|x?1||f(x)|dx?|f(?)||x?1|dx?|f(?)|
000?2?2?2第四章 微分中值定理与泰勒公式
一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且f'(x)?1, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.
证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0,
所以存在? ? (0, 1), 使F(?) = 0. 假设存在?1, ?2 ? (0, 1), 不妨假设?2 < ?1, 满足f(?1) = ?1, f(?2) = ?2. 于是 ?1－?2 = f(?1)－f(?2) = f'(?)(?1??2). (?2 < ? < ?1). 所以f'(?)?1, 矛盾.
二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且3?123f(x)dx?f(0). 证明: 在(0, 1)内存在一
个?, 使f'(?)?0. 证明: f(0)?3?12322f(x)dx?3f(?1)(1?)?f(?1), 其中?1满足??1?1.
33由罗尔定理, 存在?, 满足0 < ? < ?1, 且 f'(?)?0.
三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个?, 使 F''(?)?0.
证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在?1, 1 < ?1 < 2, 满足F'(?1)?0. 所以
F'(1)?F'(?1)?0.所以存在?, 满足1 < ? < ?1, 且 F''(?)?0.
四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个?, 使
f(x)?(1??)ln(1?x)f'(?).
29
证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理
F(x)?F(0)F'(?), ? ? (0, x) ?G(x)?G(0)G'(?)f(x)?(1??)f'(?), 即f(x)?(1??)ln(1?x)f'(?).
ln1(?x)所以
五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个? ? (a, b), 使
bn1
b?af(a)anf(b)?[nf(?)??f'(?)]?n?1
证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令F(x)?xnf(x). 在[a, b]上使用拉格朗日定理 bnf(b)?anf(a)?[n?n?1f(?)??nf'(?)]b(?a)
六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个? ? (a, b), 使
f(a) f(b)g(a)h(a)g(b)h(b)?0
f'(?)g'(?)h'(?)f(a)g(a)h(a)证明: 令F(x)?f(b)g(b)h(b), 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个? ? (a, b), 使
f(x)g(x)h(x)f(a)g(a)h(a) F'(?)?f(b)g(b)h(b)?0
f'(?)g'(?)h'(?)
七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个? ? (0, 1), 使 f''(?)?2f'(?)
1??证明: (f''(x)?2f'(x)f''(x)22?, 二边积分可得lnf'(x)(x?1)?c, 所以
1?xf'(x)1?xf'(x)(x?1)2?ec)
2令 F(x)?f'(x)(x?1). 由f(0) = f(1) = 0知存在? ? (0, 1), f'(?)?0. 所以F(?) = F(1)
= 0, 所以存在 ? ? (?, 1), F'(?)?0. 立即可得f''(?)?2f'(?)
1?? 30