0?x'(0)??kmgc2? mkm2gm2g所以 c2?2, c1??c2??2
kkm2gm2g?mtmg所求解为 x??2?2e?t.
kkk
k第六章 一元微积分的应用
一. 选择题
1. 设f(x)在(－?, +?)内可导, 且对任意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则 (a) 对任意x, f'(x)?0 (b) 对任意x, f'(?x)?0 (c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加
解. (a) 反例:f(x)?x3, 有f'(0)?0; (b) 反例:f(x)?x3; (c) 反例:f(x)?x3,f(?x)??x3 单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下: 令F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1 < －x2. 所以F(x1) =－f(－x1) > －f(－x2) = F(x2). 2. 设f(x)在[－?, +?]上连续, 当a为何值时, F(a)?值. (a) (c)
??[f(x)?acosnx]dx的值为极小
??2????f(x)cosnxdx (b)
1?????f(x)cosnxdx
??2?????1f(x)cosnxdx (d)
2???f(x)cosnxdx
解. F(a)???[f(x)?acosnx]dx
??2 ?a2????cos2nxdx?2a?f(x)cosnxdx??f2(x)dx
?????? ??a2?2a所以当a =
????f(x)cosnxdx??f2(x)dx 为a的二次式.
???1?????f(x)cosnxdx, F(a)有极小值.
3. 函数y = f(x)具有下列特征:
f(0) = 1; f'(0)?0, 当x ? 0时, f'(x)?0; f''(x)?x?0??0 , 则其图形 ?0x?0?(a) (b) (c) (d)
1 1 1 1
41
解. (b)为答案.
4. 设三次函数y?f(x)?ax3?bx2?cx?d, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是
(a) 关于y轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x轴对称 (d) 以上均错 解. 假设两个极值点为x = t及 x = －t (t ? 0), 于是f(t) =－f(－t). 所以 at?bt?ct?d?at?bt?ct?d, 所以b + d = 0
3232f'(x)?3ax2?2bx?c?0的根为 x = ? t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以
f(x)?ax3?cx 为奇函数, 原点对称. (b)为答案.
5. 曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围图形面积可表示为 (a) ?x(x?1)(2?x)dx (b)
0?2?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
012012(c) ?x(x?1)(2?x)dx?0?1?x(x?1)(2?x)dx (d) ?x(x?1)(2?x)dx
12解.
0 1 2 由图知(c)为答案.
二. 填空题 1. 函数F(x)??x11???2??dt (x > 0)的单调减少区间______.
t??11?0, 所以0 < x < .
4x解. F'(x)?2?32. 曲线y?x?x与其在x?1处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积3之比是________.
解. y'?3x?1, 所以切线的斜率为k =3?切线方程: y??212?1?? 93222x?, 曲线和切线的交点为x??. (解曲线和切线的联立方程得
332742
x3?x21122??0, x?为其解, 所以可得(x?)2(x?)?0, 解得x??.)
33327333?2(x?x?0222x?)dx?3278?27? 比值为 31112233(x?x??)dx?0108327x2y2x2y23. 二椭圆2?2?1, 2?2?1( a > b > 0)之间的图形的面积______.
abba解.
二椭圆的第一象限交点的x坐标为 x?aba?baba2?b222. 所以所求面积为
? s??ab?4??0?aba?b22ba2?x2dx??0a?ab2?x2dx? b?abab??222222a?ba?b????baxxabxx2222? =?ab?4?????arcsin?a?x?arcsin?b?x???a??2a2b?2b2????00?????abarcsin=?ab?4??2???ab?2ab?arcsin?a2b2ab??arcsin22222(a?b)2a?bbba?b22a2b2?? 22?222(a?b)?a?ba?arcsin?
22?a?b?a令??arcsinaa2?b2 ?ab?2ab?????????= 4?ab? ?2?=4?abarctan??a?? b??4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______.
解.
－b a
由图知
V?2??[(a2?y2?b)2?(?a2?y2?b)2]dy
0a 43
?? =2??a024ba?ydy?8?ab?costdt?8?ab?0222222201?cos2tdt 2 =8?ab??4?2ba2?2
(5) 求心脏线? = 4(1+cos?)和直线? = 0, ? =
?围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____. 2解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式
2? V?3所以
?????3(?)sin?d?
?2? V?32??(?)sin?d????33?2064(1?cos?)3sin?d?
?128?1 =??(1?cos?)434三. 计算题
2??032?32???16?160? 331. 在直线x－y + 1=0与抛物线y?x2?4x?5的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及
连接两交点的弦所围成的三角形的面积. 解. 由联立方程??x?y?1?0?y?x?4x?52解得交点坐标(x3,y3)?(1,2), (x2,y2)?(4,5)
由y'?2x?4求得二条法线的斜率分别为kx?1?11, kx?4??. 相应的法线为 24119y?2?(x?1), y?5??(x?4). 解得法线的交点为(x1,y1)?(6,).
242已知三点求面积公式为 S??所以
1x1?x32x2?x3y1?y3y2?y3
1x1?x3 S??2x2?x35y1?y31515. ???2y2?y323342. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得解. 过点(1, 1)的直线为
y = kx + 1－k 所以 F(k) = =
?[x022?f(x)]2dx为最小的直线方程.
?[x022?kx?(1?k)]2dx
?[x024?2kx3?(k2?2k?2)x2?2k(1?k)x?(1?k)2]dx
44
?x52k4k2?2k?23??x?x?k(1?k)x2?(1?k)2x? =?43?5?0 =
2328?8k?(k2?2k?2)?4k(1?k)?2(1?k)2 53848F'(k)??8?(2k?2)?(4?8k)?4(1?k)?k??0
333 k = 2
所求直线方程为 y = 2x－1 3. 求函数f(x)?2?x20(2?t)e?tdt的最大值与最小值.
2?x2解. f'(x)?2x(2?x)e x = 0, x =??0, 解得
2
2?t?2??00f(0)?0, f(?2)??(2?t)edt?1?e, f(??)??(2?t)e?tdt=1
所以, 最大值f(?2)?1?e?2, 最小值f(0)?0.
4. 已知圆(x－b)2 + y2 = a2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积. 解. 体积 V?2?2? =8?ba2??b?ab?axa?(x?b)dx令x?b?asint4????2(b?asint)a2co2std t222??20cos2tdt?8?ba2??4?2?2ba2
表面积: y = f(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为 S=
?ba2?f(x)1?f'2(x)dx
(x－b)2 + y2 = a2绕y轴旋转相当于(y－b)2 + x2 = a2绕x轴旋转. 该曲线应分成二枝: y?b?所以旋转体的表面积 S?2?a2?x2
aa?x?22?a?a(b?a2?x2)adx?2??(b?a2?x2)?aaaa?x22dx
=4?ab?dxa2?x2?a?8?ab?2dt?4?2ab.
05. 设有一薄板其边缘为一抛物线(如图), 铅直沉入水中,
i. 若顶点恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍?
ii. 若将薄板倒置使弦恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍? 解. 0 y
45