八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个?, 使
e11 x1e?ex2f(x1)xex2f(x2)?f(?)?f'(?)
证明: 令F(x)?e?xf(x)，G(x)?e?x, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个?, 满足
ex11F(x2)?F(x1) ?x1G(x2)?G(x1)e?ex2f(x1)ex2f(x2)?f(?)?f'(?).
九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个? ? (x1, x2)或(x2, x1), 使 x1ex2?x2ex1?(1??)e?(x1?x2)
ex1，G(x)?, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令F(x)?xx内至少存在一个?, 满足
ex2ex1e???e??F(x2)?F(x1)x2x1?2 ??111G(x2)?G(x1)??2x2x1?立即可得 x1ex2?x2ex1?(1??)e?(x1?x2).
十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ? 0, 试证: 至少存在一个? ? (a, b), 使 f'(?)g(?)?g'(?)f(?)
证明: 令F(x)?f(x), 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个? ? (a, b), 使 g(x) F'(?)?0,
于是 f'(?)g(?)?g'(?)f(?).
第五章 常微分方程
一. 求解下列微分方程：
31
xx???x?y1. ?1?e?dx?ey?1?dy?0 ?????y?????x?e??y?1??dx??.
解. ?xdy1?ey令
xyx?u,x?yu.(将y看成自变量) ydxdudueu(u?1)?u?y, 所以 u?y ?udydydy1?eduueu?euu?eu y??u??dy1?eu1?eu?u?eu?1?eudyd(u?eu)dy1, , ??du????ln??lny?lnuu??u?eyu?eyy?c?cc1u?eu, y?, ??xu?euycx?eyy?y2?2xy?x2?y'?22. ?y?2xy?x2 ?y(1)??1?解. 令
x???x?yey??c. ????y?u,y?xu. xdyduduu2?2u?1?u?x?, 所以 u?x dxdxdxu2?2u?1duu2?2u?1?u3?u2?u?1x?2?u? 2dxu?2u?1u?2u?1u2?2u?1dxdu??
u3?u2?u?1x2u?dx??1?2??du??
x?u?1u?1?lnu?1u?1?lncx?cx. 由y(1)??1,得u(1)??1 , 22u?1u?1 32
所以 c = 0.
u?1yu?1?0?0?1?0, 即y??x. , 得到,
u2?1x
二. 求解下列微分方程： 1.
1?x2y'sin2y?2xsin2y?e21?x2
解. 令u?sin2y,则u'?y'sin2y. 得到
1?x2u'?2xu?e2解得 u?e21?x21?x2, u'?2x1?x2u?e21?x221?x为一阶线性方程
1?x2(c?ln|x?1?x2|). 即 sin2y?e2(c?ln|x?1?x2|).
2. (x?2xy?y2)dy?y2dx?0 解. 原方程可化为
dx2xx?1??2. dyyy即
dx?12???2???x?1, 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量). dy?yy??1y解得: x?y2?cy2e.
3. xy'lnxsiny?cosy(1?xcosy)?0 解. 令cosy?u, 则 u'??y'siny. 原方程化为
?u'xlnx?u(1?xu)?0
uu2?u'??, 为贝奴利方程.
xlnxlnx?u'111???. u2xlnxulnx1?u'11z?令z?, 则z'?2. 方程化为 z'?, 为一阶线性方程.
uuxlnxlnx解得 z?(x?c)1x?c?. 即 , (x?c)cosy?lnx.
lnxcosylnx
三. 求解下列微分方程： 1. edx?(xe?2y)dy?0 解. edx?xedy?2ydy?0.
33
yyyy
于是d(xey)?dy2?0. 所以方程解为 xey?y2?c.
?2. ?x?????x?dx??1??y2?x2?yy2?x2??1??dy?0 ??2解. xdx?dy?1y?x22dx?xyy?x1y?x222dy?0
xyy?x22设函数u(x,y)满足du(x,y)=
dx?dy.
x??(y) y所以
?u??x1y2?x2?xy2xy22, u(x,y)??1y2?x2xdx??(y)?arcsin所以
?u??y??'(y)??1?yy?x22. 于是?'(y)?0,?(y)?c
所以原方程的解为
12xx?y?arcsin?c 2y3. (x2?y2?2x)dx?2ydy?0
解. 由原方程可得 (x?y)dx?d(x?y)?0
2222d(x2?y2)得到 dx??0.
x2?y2于是原方程解为 x?lnx(?y)?c.
四. 求解下列微分方程:
22y2?x1. y'?
2y(x?1)解. 2yy'(x?1)?y?x
令y?u, 得到u'(x?1)?u?x
22u'?1xu??为一阶线性方程. 解得 x?1x?1?x?u?(x?1)??ln(x?1)?c?.
?x?1?
34
即 y2?c(x?1)?x?(x?1)lnx(?1) 2. xy'?y?x3y6 解. 该方程为贝奴利方程.
xy?6y'?y?5?y3.
xu'?u?x3 555u'?u??5x2. 解得 u?x5(c?x?2)
x253?55于是 y?cx?x
2令y?5?u, ?5y?6y'?u', ?
五. 设?(x)在实轴上连续, ?'(0)存在, 且具有性质?(x?y)??(x)?(y), 试求出?(x). 解. ?(0?0)??(0)?(0), ?(0)??2(0), ?(0)?0, ?(0)?1. i) ?(0)?0. 对于任何x有?(x??x)??(x)?(?x)
所以 ?(x)?lim?(x??x)??(x)lim?(?x)??(x)?(0)?0.
?x?0?x?0所以 ?(x)?0. ii) ?(0)?1
?(x??x)??(x)?x上式令?x?0, 得到
??(x)?(?x)??(x)?x??(x)(?(?x)?1)?x??(x)(?(x)??(0))?x
??'(x)??(x)?'(0) ???(0)?1解得 ?(x)?e?'(0)x.
六. 求解下列方程: 1. ??ydx?(y?x)dy?0
?y(0)?1?dxx????1解. 可得?dyy. 这是以y为自变量的一阶线性方程.
?x(1)?0?解得 x?y(c?lny).
35