x(1)?0, c?0. 所以得解 x??ylny.
?x(y'?1)?sin(x?y)?0?2. ??
y()?0??2?xu'?sinu?0?解. 令x?y?u. 可得?? ?u()???22dxducc??cscu?cotu. , ln?ln(cscu?cotu), xsinuxx???c??u()?, ?csc?cot?1, c?.
?222222?解为
?2x?cscx(?y)?cotx(?y).
七. 求解下列方程:
1. (1?x2)y''?(y')2?1?0 解. 令y'?p,则y''?所以 (1?x)2dp. dxdpdpdx?p2?1?0, 2?? dxp?11?x2arctanp??arctanx?c
所以
p?x?tanc?c1, p?x?c1?c1px, p(1?c1x)?c1?x
1?pxc12?1dyc1?x1于是 ????dx1?c1xc1c1(1?c1x)?1c12?1?dy????c?c(1?cx)??dx
11?1?c12?11解为 y??x?ln|1?c1x|?c2. 2c1c1?xy''?x(y')2?y'?02. ?
y(2)?2,y'(2)?1?解. 令y'?p,则y''?dp dx36
xdpdpp1dp11?xp2?p?0, ???p2, 2???1 dxdxxpdxxp令
11dp?u，则u'??2，u(2)?1 ppdx11u??1, u'?u?1 为u对于x的一阶线性方程 xx1c1解得 u?x?, u(2)?1, 得c = 0. u?x
22x于是得到 ?u'?11dx1?x, ?x, y?2lnx?c, y(2)?2,解得c?2?2ln2 p2dy2所以 y?2lnx?2?2ln2?ln()?2
x22?2y''?(y')2?y3. ? ?y(0)?2,y'(0)?1解. 令y'?p，则y''?pdp dy得到 2pdp?p2?y dydu?u?y为关于y的一阶线性方程. 且u?p2(0)?[y'(0)]2?1
|x?0dy?y令p?u, 得到
2解得 u?y?1?ce所以 1?u
|x?0?y(0)?1?ce?y(0)?2?1?ce?2, c?0.
于是 u?y?1, p??y?1
dy??dx, 2y?1??x?c1, y?1y(0)?2, 得到
c1?1, 得解 2y?1??xc1? 22y?1??x?1 2
八. 求解下列微分方程: 1. y(5)?y(4)?2y'''?2y''?y'?y?0
5432解. 特征方程 ????2??2????1?0
37
(??1)(?2?1)2?0
?1??1,?2,3?i,?4,5??i
于是得解 y?c1e?x?(c2?c3x)sinx?(c4?c5x)cosx
?y(4)?5y''?10y'?6y?02. ?
y(0)?1,y'(0)?0,y''(0)?6,y'''(0)??14?解. 特征方程 ??5??10??6?0, (??1)(??3)(?2?2??2)?0
42?1?1, ?2??3, ?3,4?1?i
得通解为 y?c1ex?c2e?3x?ex(c3cosx?c4sinx) 由 y(0)?1,y'(0)?0,y''(0)?6,y'''(0)??14
11, c2?, c3?1, c4?1 221x1?3x?ex(cosx?sinx) 得特解 y??e?e22得到 c1??
九. 求解下列微分方程:
1. y''?y?x?3sin2x?2cosx
2解. 特征方程 ??1?0, ???i
齐次方程通解 y?c1cosx?c2sinx
1x?x 2D?1113*3sin2x?32sin2x?sin2x??sin2x y2?2D?1D?1?4?11*2cosx y3?2D?1非齐次方程特解: y1?*考察
1111ixixixix12e?2e1?2e1?2e1 D2?1(D?i)2?1D2?2iDD2i?Dix11D111ix(?)1?2eix?xe?(cosx?isinx)(?ix) D2i4D2ii =xsinx?ixcosx
1*2cosx?xsinx 所以 y3?2D?1 =2ex?c2sinx?x?sin2x?xsinx 所以通解为 y?c1cos
38
?y''?y?2xex?4sinx2. ? ?y(0)?y'(0)?02解. 特征方程 ??1?0, ???i
齐次方程通解 y?c1cosx?c2sinx 非齐次方程特解 y1?*111xxx2xe?2ex?2ex 222D?1(D?1)?1D?2D?2 =2ex? y2?*?11??D?x?ex(x?1) ?22?114sinx??2xcosxeix的虚部) (计算方法同上题, 取22D?1D?1所以 y?c1cosx?c2sinx?ex(x?1)?2xcosx 由 y(0)?y'(0)?0可得c1?1,c2?2 得解 y?cosx?2sinx?ex(x?1)?2xcosx 3. y''?4y'?4y?eax
解. 特征方程??4??4?0,
2?1,2??2
y?(c1?c2x)e?2x
i) a??2
y*?ii)
*1112?2x?2x?2xe?e1?xe
(D?2)2(D?2?2)22a??2
1eaxax y?e?(D?2)2(a?2)21??2xax(c?cx)e?e122?a??2(a?2)?所以 y??
a??2?(c?cx)e?2x?1x2e?2x12??2
十. 求解下列微分方程: 1. xy''?xy'?y?2sin(lnx)
39
2
解. 令x?e,则t?lnx
tdydt得 2dydyx2y''?2?dtdtxy'?t. 解得 y?c1cot得到方程 y''?y?2sins?c2sint?tcots
所以得解 y?c1coslnx?c2sinlnx?lnxcoslnx 2. (x?1)2y''?(x?1)y'?y?6(x?1)ln(x?1) 解. 令x?1?et,则t?ln(x?1)
dydt得 2dydy(x?1)2y''?2?dtdt(x?1)y'?得到方程 y''?2y'?y?6tet. 解得 y?(c1?c2t)et?t3et 所以得解 y?(c1?c2ln(x?1))(x?1)?(x?1)ln3(x?1)
十一. 一质量为m的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假如液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律.
解. 取物体的初始位置为坐标原点, x坐标向下为正向. 并以x(t)表示在时刻t时的物体位置.物体所受的重力为mg, 阻力为kdx(k为比例系数). 由牛顿定律得到: dtk?dxd2x??m2?mg?k?x''?x'?g mdtdt. 即?????x(0)?x'(0)?0?x(0)?x'(0)?0解得 x?c1?c2ek?tm?mgt k?tkmg于是 x'??c2em?
mkkx(0)?0, 得到c1??c2
40