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e2x1112x2x???2x?ln?e2x?1???x?ln?e2x?1? ln2x??lne?lne?1???2??e?12?21e2xx由 y?arctane?ln，得 y?arctane?x?ln(e2x?1)，所以 2x2e?1x(ex)?1(e2x)?ex12e2xexe2xy???1???1???1?，
1?e2x2e2x?11?e2x21?e2x1?e2x1?e2xdy所以
dx
?exe2x?ee2e?1???1???1??. 2x2x?222x?11?e1?e1?e1?e1?e??x?1(3)【答案】?【详解】
1 211?2?t:??1 22121?2方法1：作积分变换，令x?1?t，则x:所以
?212f(x?1)dx??121?221?12f(t)dt＝?f(t)dt??1(?1)dt
212?121??211112xxedx??1(?1)dx??21exdx2?(1?)?ex2?22221?111?0??.
222(也可直接推出
?121?2xedx?0，因为
x2?121?2xexdx积分区间对称，被积函数是关于x是奇
2函数，则积分值为零) 方法2：先写出的f(x?1)表达式
1113???x?1?2(x?1)2x?1e,??x?1?(x?1)e,?x???????2222f(x?1)??即：f(x?1)??
3??1,??????????????????x?1?1??1,x????2?2所以
?212f(x?1)dx??(x?1)e3212(x?1)2dx??3(?1)dx
2321122111113311??(x?1)2(x?1)244?(e?e)??0?????12ed(x?1)??2???e?. 12222222?2?22
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?300??? (4)【答案】?030?
?00?1???【详解】因为
?0?10??0?10???100???????A2??100??100???0?10?，
?00?1??00?1??001???????为对角阵，故有
??100???100?????A4?(A2)2??0?10??0?10??E
?001??001??????122?1?1所以 B?PAPPAP?PA(PP)AP?PAP,?1?1,
B2004?P?1A2004P?P?1?A4?501P?P?1EP?P?1P?E
??100??300?????所以 B2004?2A2?E?2?0?10???030?.
?001??00?1?????
(5)【答案】(1,0,0) 【详解】
T?1?方法1：设A?a21???a31a12a22a32a13?a23??，是正交矩阵，故的每个行(列)向量都是单位向量 a33??2222所以有 1?a12?a13?1，1?a21?a31?1，得a12?a13?0,a21?a31?0.
?10?故 A?0a22???0a320?T?1Ta23?，又由正交矩阵的定义AA?E知A是可逆矩阵，且A?A. ?a33??0??1??1??0???0? a32??????a33????0????0??则Ax?b，有唯一解.
?10x?A?1b?ATb???0a22??0a23方法2：同方法1，求得a11?1的正交阵为
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?10A???0a22??0a320?a23?? a33??A是正交阵，由正交矩阵的性质可知，A?1或?1不等于零，故
100a23?(?1)1?1a33a22a32a23a33A?0a220a32?a22a32a23a33?0，即有
a22a32a23a33?0，
则原方程Ax?b为
?x1?1??a22x2?a23x3?0 ?ax?ax?0?322333解得x1?1,x2?x3?0，即方程组有唯一解. (其中，由
a22a32a23a33?0及齐次线性方程组Ax?0只有零解的充要条件是A?0，可
?x1?1ax?ax?0?222233?知，方程组? 只有零解，故x2?x3?0. 进而?a22x2?a23x3?0的解
?a32x2?a33x3?0?ax?ax?0?322333为x1?1,x2?x3?0.)
(6) 【答案】
1 e【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为
??x?1??e,若x?0f(x)??，其方差DX?2.
?若x?0??0于是，由一维概率计算公式，P?a?X?b?? P{X?
二、选择题 (7)【答案】(A) 【详解】
?bafX(x)dx，有
??1??1DX}=P{X?}??1?e??xdx=?e??x????1 e Born to win
方法1：如果f(x)在(a,b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f(x)在
x?a?x?b?(a,b)内有界.
当x ? 0 , 1 , 2时f(x)连续，而
x??1lim?f(x)?lim?x??1?xsin(x?2)?sin(?1?2)sin3???，
x(x?1)(x?2)2(?1?1)(?1?2)218x?0limf(x)?lim??x?0?xsin(x?2)?sin(0?2)sin2???， 22x(x?1)(x?2)(0?1)(0?2)4xsin(x?2)sin(0?2)sin2??，
x(x?1)(x?2)2(0?1)(0?2)24x?0limf(x)?lim??x?0limf(x)?limx?1x?1xsin(x?2)sin(1?2)?lim??，
x(x?1)(x?2)2x?1(x?1)(1?2)2xsin(x?2)sin(x?2)1?lim?lim??， 22x?2x?2x(x?1)(x?2)(x?2)x?2limf(x)?limx?2x?2所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).
方法2：因为limf(x)存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在??0，在区间[??,0)?x?0上f(x)有界，又如果函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界，根据题设f(x)在[?1,??]上连续，故f(x)在区间上有界，所以f(x)在区间(?1,0)上有界，选(A).
(8)【答案】 (D) 【详解】考查极限limg(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通过换元u?x?01， x可将极限limg(x)转化为limf(x).
x?0x??因为 limg(x)?limf()?u??limf(u)= a，又g(0)?0，
x?0x?0u??1x1x所以， 当a?0时，limg(x)?g(0)，即g(x)在点x?0处连续，
x?0当a?0时，limg(x)?g(0)，即x?0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在
x?0点x?0处的连续性与a的取值有关，故选(D).
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(9) 【答案】C
【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.
1?1?方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令?(x)?x(x?1)，则?(x)??x???，
2?4?是以直线x?21?11?为对称轴，顶点坐标为?,??，开口向上的一条抛物线，与x轴相2?24?交的两点坐标为?0,0?,?1,0?，y?f(x)??(x)的图形如图.
点x?0是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.
方法2：写出y?f(x)的分段表达式： f(x)????x(1?x),?1?x?0,
0?x?1?x(1?x),?1?x?00?x?1,
??1?2x,?1?x?0?2,???从而f(x)??, f(x)??1?2x,0?x?1???2,x?0x?0limf?(x)?lim?1?2x??1?0，所以0?x?1时，f(x)单调增， ??x?0x?0?limf?(x)?lim??1?2x???1?0，所以?1?x?0时，f(x)单调减， ?所以x?0为极小值点.
当?1?x?0时, f??(x)?2?0，f(x)为凹函数； 当1?x?0时,
f??(x)??2?0，f(x)为凸函数, 于是(0,0)为拐点.
(10)【答案】 (B)
【详解】先求分段函数f(x)的变限积分F(x)?可导性即可.
方法1：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设f(x)在[a,?b]上除点
?0xf(t)dt，再讨论函数F(x)的连续性与
c??a,?b?外连续，且x?c为f(x)的跳跃间断点，又设F(x)??f(t)dt，则
cx