Born to win
?P?x?dx??P?x?dxdx? f(x)?e?C?Qxe???????这里P?x??2,??Q?x??x2e?2x，代入上式得：
?2dx2dxy?e?(?x2e?2xe?dx?C)?e?2x(?x2e?2xe2xdx?C)
?e?2x(?xdx?C)?e2?2x?x3??C??(C为任意常数). ?3?y( x) (1)
方法2：由y(x)?e?2xxf(x,x)有 f(x,x)?2e已知f(u,v)满足 fu?(u,v)?fv?(u,v)?uv (2)
2这是一个偏微分方程，当u?x,v?x时(2)式变为f1?(x,x)?f2?(x,x)?x
df(x,x)?x2 dx以(1)代入，有 (ey(x))??x，即2ey(x)?ey?(x)?x， 化简得 y(x)??2y(x)?xe由通解公式得
2?2x2x22x2x2，
1?2dx2dxy?e?(?x2e?2xe?dx?C)?(x3?C)e?2x(C为任意常数).
3
(18)【详解】(I) 由于需求量对价格的弹性Ed> 0，所以
Ed?P?PPPdQ； ?Q?100?5P?P?(0,20)??100?5P???100?5P20?P20?PQdP(II) 由R?PQ，得
PdQdRd?PQ?dQ?P?Q(1?)?Q(1???Q?P)?Q(1?Ed)
QdPdPdPdP20?P要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，证Q(1?Ed)?0?Ed?1，换算成P为
dR?0，即dPP?1，解之得：P?10，又已知P?(0,20)，
20?P所以20?P?10，此时收益随价格降低反而增加.
(19)【详解】当x?0时，?x?0，所以F(?x)?e2??x??e?2x?F?x?，同理：当x?0时，
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?x?0，所以F(?x)?ex???x????2??x??e2x?F?x?，所以y?F(x)是关于y轴对称的偶函数.
x???x???又limF(x)?lime?2x?0，limF(x)?lime2x?0，所以x轴与曲线y?F(x)围
成一无界区域，面积S可用广义积分表示.
y?F(x)图形如下：
(I) S??????F?x?dx?F?x?偶函数?2???0edx????2x??0e?2xd(?2x)??e?2x0?1
??S1(t)表示矩形?t?x?t，0?y?F(x)的面积，所以S1(t)?2te?2t，
?2t因此 S(t)?S?S1(t)?1?2te，t?(0,??).
(II) 由于S?(t)??2(1?2t)e?2t，令S?(t)?0，得S(t)的唯一驻点为t??t2e?)2t又 S??(t)??2(1所以 S()?1?
????4e?2t?4e?2t1， 214?te)?2t，S??()??0， ?8te?2t?8(12e121 为极小值，它也是最小值. eTT(20)【详解】已知(1,?1,1,?1)是该方程组的一个解，故可将(1,?1,1,?1)代入方程组，有
?1?????1?0,? ?2?1?1?2?0,?3?(2??)?(4??)?4?1,?解得λ?μ．代入原方程，并对方程组的增广矩阵A施以初等行变换, 得
??10??1??10??1??1行乘(-2),(-3)?? A??21120?01?2?1?2?00?3行??32??4??41?分别加到2，?02?2?4?2?11???????10???10??1?12行?(-1)??2，3行??01?2?1?2?0001311?互换??加到3行??0???1311???01?2?1?2?00?
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?10??1?2行?(2??1)??01311 ??加到3行?002(2??1)2??12??1???(I)当λ?
1
时，有 2
?1??10???A 3行?(2??1) ?01311?，故r(A)?r(A)?3?4.
?00211???定理：设A是m?n矩阵，方程组Ax?b，则，(1)有唯一解?r(A)?r(A)?n；(2)有无穷多解?r(A)?r(A)?n；(3)无解：?r(A)?1?r(A)，故方程组有无穷多解.
所以，该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组同解方程组为
?x1??x2??x3?x4?0? ?x2?3x3?x4?0?2x?x?0?34由于此方程组的系数矩阵的秩为3，则基础解系的个数为n?r?4?3?1，故有1个自由未知量.选x2为自由未知量，取x2??1，得方程组的基础解系为η?(?2,1,?1,2)，取非齐次
T方程的一个特解为?0?(?1,0,0,1)，故方程组的全部解为k???0(k为任意常数)．
T当λ?1时，有 21?1?2?A??01?00??1?10?2?311?， 000???可知，r(A)?r(A)?2?4，所以该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组的同解方程组为
11??x1?x2?x3?x4?0 22???x2?3x3?x4?0则基础解系的个数为n?r?4?2?2，故有2个自由未知量.选x3,x4为自由未知量，将两
T组值：(1,0),(0,2)代入，得方程组的基础解系为η1?(1,?3,1,0)，η2?(?1,?2,0,2)，取
T Born to win
T非齐次方程的一个特解为?0?(?1,0,0,1)，故方程组的全部解为
???0?k1?1?k2?2?(?1,0,0,1)T?k1(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T
(k1,k2为任意常数)．
(II)当λ?1时，方程组的通解为 2???0?k??(?1,0,0,1)T?k(?2,1,?1,2)T?(?2k?1,k,?k,2k?1)T
若x2?x3，即k??k得k?0，故原方程组满足条件x2?x3的全部解为(?1,0,0,1). 当λ?T1时，方程组的通解为 2???0?k1?1?k2?2?(?1,0,0,1)T?k1(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T
T=(k1?k2?1,?3k1?2k2,k1,2k2?1)
若x2?x3，即 ?3k1?2k2?k1，得k2??2k1，代入通解，得满足条件x2?x3的
TT全部解为k1(3,1,1?4)?(?1,0,0,1)
(21)【分析】由矩阵A的秩为2, 立即可得A的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A也立即可得.
【详解】(I)A的秩为2，于是|A|?0，所以|0?E?A|?A?0，因此A的另一特征值
λ3?0．
特征值的性质：若?i是矩阵A的k重特征值，则矩阵A属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个
又λ1?λ2?6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性无关的特征向量个数
?2. 因此?1,?2,?3必线性相关.由题设知α1?(1,1,0)T，α2?(2,1,1)T为A的属于特征值6
的线性无关的两个特征向量.
定理：实对称矩阵对应与不同特征值的特征向量是正交的.
T设λ3?0所对应的特征向量为α?(x1,x2,x3),所以，α1α?0，α2α?0，即
TT?x1?x2??2x1?x2?x3?0, ?0, Born to win
则基础解系的个数为n?r?3?2?1，故有1个自由未知量. 选x2为自由未知量，取x2?1T得方程组的基础解系为α?(?1,1,1)，故A的属于特征值λ3?0全部特征向量为
kα?k(?1,1,1)T (k为任意不为零的常数)．
(II)令矩阵P?(α1,α2,α)，求P?1
?12?1100??12?1100?????1110101行?(?1)加到2行0?12?110???? ?011001??011001?????00??12?1100??12?11????1行加到2行?0?12?110?3行?3?0?12?110?
?003?111??001?1/31/31/3?????00??12?11??3行?(-2)+2行?0?10?1/31/3?2/3??001?1/31/31/3???1?1??1000??3行，2行?2依次加到1行，0?10?1/31/3?2/3??
?001?1/31/31/3???1?1??1000??2行?(?1)?0101/3?1/32/3?
?001?1/31/31/3??????01?1??6?????112??1?1??PAP?6则 P?，??，
?333??0??11???1???3??33????1?1??422??6??12?1??6??0?????1????112???24?2A?P6P?1116?所以 ??． ????????333?011?????0?0?1??2?24??????11?????3??33
(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题