Born to win
方式值得注意。
先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.
【详解】(I) 由于P(AB)?P(A)P(B|A)?P(AB)11?, ，P(B)?P(AB)612所以 P{X?1,Y?1}?P(AB)?1， 121， 61 P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?,
12 P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)? P{X?0,Y?0}?P(AB)?1?P(A?B)=1?P(A)?P(B)?P(AB)?(或P{X?0,Y?0}?1?故(X,Y)的概率分布为
Y
X 0 1
2 31112???)， 1261232 31 1
6 0
(II) X,Y的概率分布分别为
1 121 12213??, 3124111P{X?1}?P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?0}???,
6124111P{Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?1}???,
12126215P{Y?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}???.
366P{X?0}?P{X?0,Y?1}?P{X?0,Y?0}?所以X,Y的概率分布为
X 0 1 Y 0 1 P
3151 P 446611133由0?1分布的数学期望和方差公式，则EX?,EY?，DX???，
464416 Born to win
1515DY?? =, 所以E(XY)?0?P?XY?0??1?P?XY?1??P?X?1,Y?1?=,
663612故Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?(III)Z的可能取值为：0,1,2 .
1Cov(X,Y)15，从而?XY??. 2415DX?DY21，P{Z?2}?P{X?1,Y?1}? 3121P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?，
4P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?即Z的概率分布为：
Z P 0 1 2 112 3412
(23) 【详解】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键.
根据题意X的概率为：
?1,0?x?1， fX(x)???0，其他，在X?x(0?x?1)的条件下，Y的条件概率密度为
?1?,0?y?x，fY|X(y|x)??x ??0，其他，求联合密度、边缘密度概率都有现成公式：f(x,y)?fX(x)fY|X(y|x)；
fY(y)??????f(x,y)dx；P{X?Y?1}?X?Y?1??f(x,y)dxdy.
1 x(I) 当0?y?x?1时，随机变量X和Y的联合概率密度为f(x,y)?fX(x)fY|X(y|x)?在其它点(x,y)处，有f(x,y)?0，即 ?1?,0?y?x?1，f(x,y)??x ?其他．?0，(Ⅱ) 当0?y?1时，Y的概率密度为
y 1 x?y?1 y?x O 1 x
Born to win fY(y)??f(x,y)dx??????1dx??lny； yx1当y?0或y?1时，fY(y)?0．因此 ??lny,0?y?1， fY(y)??其他．?0，111dy??1(2?)dx?1?ln2． (III) P{X?Y?1}???f(x,y)dxdy??1dx?1?xxx22X?Y?11x