Born to win
(1)F(x)在?a,?b?上必连续；(2)F?(x)?f(x)，当x??a,?b?，但x?c；
??(3)F?(c)必不存在，并且F??(c)?f(c),?F??(c)?f(c)
直接利用上述结论，这里的c?0，即可得出选项(B)正确. 方法2：当x?0时，F(x)??0x(?1)dt??x；当x?0时，F(x)??1dt?x，当x?0时，
0xF(0)?0. 即F(x)?x，
显然，F(x)在(??,??)内连续，排除选项(A)，又F??(0)?lim?x?0x?0?1，x?0F??(0)?lim?x?0?x?0??1，所以在x?0点不可导. 故选 (B). x?0
(11)【答案】(D) 【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项. 方法1：举例说明(D)是错误的. 例：f(x)?4?x,?1?x?1，
2f?(?1)??2xx??1?2?0,f?(1)??2xx?1??2?0.但在[?1,1]上f(x)?3?0.
方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.
由已知f?(x)在[a,b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则由介值定理，至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0，所以选项(C)正确；
另外，由导数的定义f?(a)?limx?a?f(x)?f(a)?0，根据极限的保号性，至少存
x?a在一点x0?(a,b)使得
同理，f?(b)?lim?x?bf(x0)?f(a)?0，即f(x0)?f(a)，所以选项(A)正确.
x0?af(b)?f(x)根据极限的保号性，至少存在一点x0?(a,b)?0，
b?x使得f(x0)?f(b). 所以选项(B)正确，故选(D).
(12)【答案】(D ) 【详解】
方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵A与B等价?A,B是同型矩阵且有相同的秩,故
由A与B等价，知A与B有相同的秩.
因此，当|A|?0时, r(A)?n, 则有r(B)?n, 即|B|?0, 故选(D).
方法2：矩阵等价的充分必要条件：A与B等价?存在可逆P,Q，使得PAQ?B. 两边
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取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得PAQ?PAQ?B. P,Q可逆，由矩阵A可逆的充分必要条件：A?0，故P?0Q?0，但不知具体数值.由
PAQ?B，知A?0时，B不能确定.但A?0有B?0.故应选(D).
方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：
(1)A中某两行(列)互换得B ，则B??A. (2)A中某行(列)乘k(k?0)得B，则B?kA. (3)A中某行倍加到另一行得B，则B?A.
又由A与B等价，由矩阵等价的定义：矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，知B??kA.
故当A?0时，B??kA?0，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但
|A|?0，则B?0，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行
列式值的非零性，即若|A|?0?B?0，若A?0?B?0.故应选(D).
(13) 【答案】(C)
【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何x?0有
P?X?x??P?X??x??1P?X?x?. 或直接利用图形求解. 2方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X??u?}??，于是
1???1?P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?P{X??x}?2P{X?x}
即有 P{X?x}?方法2：
1??，可见根据分位点的定义有x?u1??，故应选(C). 22y f(x) P?X?u????
f(x) y P?X?x???
1?? 2O O 图一 图二
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如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积?，P{X?x}??.两端各余面积
1??，所以P{X?u1??}??，答案应选(C). 22
(14)【答案】A.
【详解】由于随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，所以必有：
??2, i?j Cov(Xi,Xj)??0, i?j??n?n2又 D??aiXi???aiD(Xi)???i?1?i?1下面求Cov(X1,Y)和D(X1?Y).
2?ai?1n2i
1n而Y??Xi,故本题的关键是将Y中的X1分离出来，再用独立性来计算.
ni?1对于选项(A)：
1n11n11Cov(X1,Y)?Cov(X1,?Xi)?Cov(X1,X1)??Cov(X1,Xi)?DX1??2
ni?1nni?2nn所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项. 因为X与Y独立时，有D(X?Y)?D?X??D?Y?. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：
1?n1D(X1?Y)?D(X1?X2?nn1(1?n)22n?12?Xn)???2? 2nnnn2?3n2n?32???， =
nn2n?111(n?1)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2???Xn)???2? 2nnnnnn2?2n2n?22???. =2nn所以本题选 (A)
三、解答题
(15)【详解】求“???”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简.
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1cos2xx2?sin2xcos2x?????等价?????x2?sin2xcos2xlim(2?2)?通分?limlim x?0sinxx?0xx2sin2xx4sinxxx?0?1??2211x2?sin22x2x?sin4x?x?sin2x?4???lim42lim 洛=lim43x?0x?0x?0x4x4?x??1????2x?sin4x?2sin22x????????等???????2(2x)241?cos4x2???limlim?lim?. 洛lim222x?0x?0x?0x?06x6xsin2x2x6x3?4x3??
(16)【详解】利用对称性与极坐标计算.
方法1：令D1?{(x,y)|x2?y2?4},D2?{(x,y)|(x?1)2?y2?1}，根据二重积分的极
坐标变换：D?{(x,y)|?????,r1????r?r2???}，则： ??Df?x,y?d?????????f?rcos?,rsin??rdr
r1r2?????D1x2?y2d?化为极坐标：
D1?{(x,y)|x2?y2?4}?{(x,y)|0???2?,0?r?2} 所以
??D1x?yd???222?0d??20rcos??rsin?rdr??22222?0d??r2dr；
02??D2?3?x2?y2d?化为极坐标：D2?{(x,y)|(x?1)2?y2?1}?{(x,y)|???,0?r??2cos?}
22所以
??D2x?yd????d??2223?2?2cos?0rcos??rsin?rdr???d??222223?2?2cos?0r2dr
所以
??Dx2?y2d????x2?y2d????x2?y2d?
D1D2??2?0d??3?22rdr??202?d???2cos?2rdr0??2?03?3r3rd????230322?2cos?d?
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3?3?38?8cos?88?2?????2d??2?????2?1?sin2??dsin?
3233323?288?sin??16?8?2?16?3216?2????sin?????2???(3??2) ????33?3??33?3?39923区域D关于x轴对称，
??yd?中被积函数y为y的奇函数，根据区域对称性与被
D积函数的奇偶性：设f?x,y?在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对称，f?x,y?对
y为奇函数，则??f?x,y?d??0，所以??yd??0
DD所以
2222??(x?y?y)d????x?yd????yd??DDD16(3??2). 9方法2：
2222(x?y?y)d??x?yd????yd??2????DDDD上半??x2?y2d??0
3232?极坐标变换?2[?d??0r2dr???d???2cos?r2dr]?2?[2?202?2?rr???23023?d?]
?2cos???88?8cos3??8?8?16??????1?sin2??dsin? ??2?????d??333233?2?316?16?sin3??16???sin???(3??2). ?33?3??92?
(17)【详解】求复合函数的偏导数，求一阶线性微分方程的解 方法1：由y(x)?e?2xf(x,x)，两边对x求导有，
y???2e?2xf(x,x)?e?2xf1?(x,x)?e?2xf2?(x,x)
??2e?2xf(x,x)?e?2x?f1?(x,x)?f2?(x,x)???2y?e?2x?f1?(x,x)?f2?(x,x)?
?(u,v)?fv?(u,v)?uv，即f1?(u,v)?f2?(u,v)?uv，则f1?(x,x)?f2?(x,x)?x2. 已知fu因此，y(x)满足下述一阶微分方程为 y??2y?x2e?2x.
由一阶线性微分方程
dy?P?x?y?Q?x?通解公式： dx