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111－?＋…＋800?1－?n－1 an＝800＋800??5??5?4?n
＝4 000－4 000??5?.
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为 1
1＋?万元． 400??4?1
1＋?n－1万元， 第n年旅游业收入为400??4?所以，n年内的旅游业总收入为 11
1＋?＋…＋400?1＋?n－1 bn＝400＋400??4??4?5?n
＝1 600??4?－1 600.
(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn－an>0， 5?n?4?n>0， 即1 600?－1 600－4 000＋4 000?4??5?5?n?4?n化简得2??4?＋5?5?－7>0，
4?n2设?＝x，代入上式，得5x－7x＋2>0， ?5?2
解此不等式，得x<或x>1(舍去)，
54?n2即??5?<5，由此得n≥5.
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
典题导入
x[例3] (2012·安徽高考)设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列
2为{xn}．
(1)求数列{xn}的通项公式； (2)设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn. 1
[自主解答] (1)令f′(x)＝＋cos x＝0，
212π
得cos x＝－，解得x＝2kπ±(k∈Z)．
23由xn是f(x)的第n个正极小值点知，
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数列与函数、不等式的综合应用 实用文档
2π
xn＝2nπ－(n∈N*)．
3
22nπ
(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，
332nπ
n?n＋1?π－?. 所以sin Sn＝sin?3??
因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数， 2nπ
所以sin Sn＝－sin.
3
4π32mπ－?＝－； 当n＝3m－2(m∈N*)时，sin Sn＝－sin?3??22π32mπ－?＝； 当n＝3m－1(m∈N*)时，sin Sn＝－sin?3?2?当n＝3m(m∈N*)时，sin Sn＝－sin 2mπ＝0.
?
综上所述，sin S＝?3
，n＝3m－1?m∈N?，2
?0，n＝3m?m∈N?.
－
n
*
*
3
，n＝3m－2?m∈N*?，2
由题悟法
数列与函数的综合问题主要有以下两类：
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．
以题试法
3． (2012·温州测试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2＋t，S5－S2＝24＋3t(t>0)． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝aqn＋n，若b1＝a1，b5＝a5，试比较a3与b3的大小． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则S5－S2＝3a1＋9d＝24＋3t， 又a1＝2＋t，所以d＝2， 故an＝2n＋t(t>0)．
(2)由已知可得aq＝1＋t>0，aq5＝5＋t， 1
可得3＋t＝(aq＋aq5)，
2
又aq5－aq＝aq(q4－1)＝4，则q4>1，得q2>1.
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aq
则a3－b3＝3＋t－aq3＝(q2－1)2>0，故a3>b3.
2
1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( )
A.2 B．4 C．2
1D. 2
2
解析：选C 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a23＝a1a7得(a1＋2d)＝a1(a1＋6d)，解得
a3a1＋2d2a1a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.
a1a1a1
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为( )
A．±42 C．42
B．－42 D．无法确定
解析：选A 依题意得，S9＝9a5＝－36?b5＝a5＝－4，S13＝13a7＝－104?b7＝a7＝－8，所以b6＝±42.
3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 C．48
B．32 D．64
an＋2＋
解析：选D 依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n1，两式相除得＝2.所以a1，
an
a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2.所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
2 1 4 2 x y z 4.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )
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A．1 C．3
B．2 D．4
1
解析：选B 由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.
21?51
根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，，故第四列的公比为，所以y＝5×??2?22
3
1?435
＝，同理z＝6×??2?＝8，故x＋y＋z＝2. 8
5．(2011·上海高考)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积
(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 An＋1an＋1an＋2an＋2A2解析：选D ∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝
AnanA1anan＋1
a3A3a4，＝，…. a1A2a2
∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，An＋1an＋2
若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等
Anan比数列．
6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝4且a1＝9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<
1
的最小整数n是( ) 125
B．6 D．8
A．5 C．7
解析：选C 由递推式变形得3(an＋1－1)＝－(an－1)，
?－1?n－1， 则an－1＝8·?3?
?
所以|S－n－6|＝|a－1＋a－1＋…＋a－1－6|＝?
?
n
1
2
n
?－1?n?8?1－??3??
11＋3
??1?1－6?＝6×
?3?<125，
?
n
即3n1>250，所以满足条件的最小整数n是7.
－
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
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1
由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，故q＝.
31答案： 3
8．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．
答案：2 000
2*9．(2012·安徽模拟)在数列{an}中，若a2n－an－1＝p(n≥2，n∈N，p为常数)，则称{an}
为“等方差数列”．
下列是对“等方差数列”的判断：
①若{an}是等方差数列，则{a2n}是等差数列；
②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a2n}是等方差数列． ③{(－1)n}是等方差数列；
④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列； 其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a2n}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝n，则数列{an}是等方差数列，但数列{a2故②错．对于③，n}不是等方差数列，因为[(－1)n]2－[(－1)n1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对
－
2222222
于④，若a2n∈N*)，则akn－a2n－an－1＝p(n≥2，k?n－1?＝(akn－akn－1)＋(akn－1－akn－2)＋…＋(akn－k＋1
－a2k?n－1?)＝kp为常数，故④正确．
答案：①③④
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn； 解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，故an＝2n－1(n∈N*)． 又数列{bn}为等比数列，设公比为q， ∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.
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