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∴bn＝2n1(n∈N*)．
－
(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2?1－2n?
－n. 1－2
所以Tn＝2n1－2－n.
＋
22
11．已知各项均为正数的数列{an}满足：an＋1＝2an＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n
∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足：bn＝
nan
，是否存在正整数m，n(1 ?2n＋1?2n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，请说明理由． 2 解：(1)因为a2n＋1＝2an＋anan＋1， 即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0. 又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1. 所以数列{an}是公比为2的等比数列． 由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2. 故数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)． nann(2)因为bn＝， n＝?2n＋1?22n＋11mn所以b1＝，bm＝，bn＝. 32m＋12n＋1 m1n 若b1，bm，bn成等比数列，则?2m＋1?2＝?2n＋1?， ??3??m2n 即2＝. 4m＋4m＋16n＋3 2 m2n3－2m＋4m＋1 由2＝，可得＝， nm24m＋4m＋16n＋3 所以－2m2＋4m＋1>0，从而1－ 66 又n∈N*，且m>1，所以m＝2，此时n＝12. 故当且仅当m＝2，n＝12时，b1，bm，bn成等比数列． 12．设同时满足条件：① bn＋bn＋2 ≥bn＋1；②bn≤M(n∈N*，M是常数)的无穷数列{bn}2 a (a－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)． a－1n 叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝ (1)求数列{an}的通项公式； 文案大全 实用文档 2Sn?1? (2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列?b?为“嘉文”数列． an?n?a 解：(1)因为S1＝(a－1)＝a1，所以a1＝a. a－11当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ aan(an－an－1)，整理得＝a，即数列{an}是以a为首项，a－1an－1 － a为公比的等比数列．所以an＝a· an1＝an. (2)由(1)知， a 2×?a－1? a－1n?3a－1?an－2a bn＝＋1＝，(*) an?a－1?an由数列{bn}是等比数列，则 b2b3，故2＝b1· 3a＋2a＋21?3a＋2?2＝3·，解得a＝， 2a3?a? 2 11 再将a＝代入(*)式得bn＝3n，故数列{bn}为等比数列，所以a＝. 331111＋n＋n＋22 bnbn＋233由于＝>22 11 ·3n3n＋211111 ＝n＋1＝，满足条件①；由于＝n≤，故存2bn333bn＋1 1?1? 在M≥满足条件②.故数列?b?为“嘉文”数列． 3?n? 1．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，1 若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是( ) 2 1?A.??2，2? 1?C.??2，1? 1? B.??2，2? 1?D.??2，1? 1 解析：选C 由题意得an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an， 2 1??1?n?1－?2??2?1?n1??故Sn＝＝1－?.则数列{a}的前n项和的取值范围是n ?2??2，1?. 1 1－2 2．(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 解析：由x2－x<2nx(n∈N*)， 得0 文案大全 实用文档 100?2＋200? 故S100＝＝10 100. 2答案：10 100 3．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？ (2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？ 解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列． n?n－1??则f(n)＝50n－?12n＋×4－72＝－2n2＋40n－72. 2?? (1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2 36f?n? n＋?≤16，当且仅当n＝6时取等号． (2)①平均利润为＝40－2?n??n故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n＝6. ②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，当n＝10时，f(n)max＝128. 故此方案共获利128＋16＝144万美元． 比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)证明：{an－1}是等比数列； (2)求数列{Sn}的通项公式．请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由． 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14，则a1－1＝－15. ∵当n≥2时，Sn－1＝(n－1)－5an－1－85， ∴an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， 5 ∴6an＝5an－1＋1，即an－1＝(an－1－1)， 65 ∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列． 6 文案大全 实用文档 ?5?n－1， (2)∵an－1＝－15·?6??5?n－1?－85＝n＋75·?5?n－1－90. ∴Sn＝n－5?1－15·??6???6??5?n－1>0， 由an＝1－15·?6??5?n－1<1，解得n>log51＋1≈15.85. 即15·?6?615 ∴当n≤15时，an<0；当n≥16时，an>0. 故n＝15时，Sn取得最小值． 2．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，1 点{bn，Tn}在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和． 2 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列； (3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1 解：(1)由点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1， ∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1. 1 (2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上， 21 ∴Tn＝－bn＋1.① 2 1 ∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)．② 2 11 ①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)， 2231 ∴bn＝bn－1， 221 ∴bn＝bn－1. 3 12 令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝， 2321 ∴{bn}是以为首项，以为公比的等比数列． 332?1?n－12 (3)证明：∵由(2)可知bn＝·＝n. 3?3?32 ∴cn＝an·bn＝(n＋1)·n， 3 22 ∴cn＋1－cn＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n 33 文案大全 实用文档 ＝ 3 n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]＝n＋1(－2n－1)<0， 22 3 ∴cn＋1 3．(2012·广州调研)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)． (1)设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列， 设 bn＝q(n≥2)， bn－1 即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)， 得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1. ??q－λ＝1， 与已知an＋1＝an＋2an－1比较，得? ?qλ＝2，? 解得λ＝1或λ＝－2. 所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列． 当λ＝1时，q＝2，b1＝4，则数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列； 当λ＝－2时，q＝－1，b1＝1，则数列{bn}是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由(1)知an＋1－2an＝(－1)n1(n≥1)， ＋ an＋1an?－1?n1?1?n＋1 所以n＋1－n＝n＋1＝?－2?(n≥1)， 222 ＋ ana1a2a1??a3a2??anan－1?2－1＋3－2＋…＋?n－n－1? 当n≥2时，n＝1＋?22?22??22??22?1111 －?2＋?－?3＋…＋?－?n ＝＋??2?2?2??2? ?－1?2?1－?－1?n－1?1?2???2??＝＋ 21??1－?－2?11?－1?n－1?. ＝＋?1－ 26??2??a11 因为1＝也适合上式， 22 an11?－1?n－1?(n≥1)． 所以n＝＋?1－ 226??2??1＋ 所以an＝[2n1＋(－1)n]． 3 1＋ 则Sn＝[(22＋23＋…＋2n1)＋((－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n)] 3 文案大全